Tronquer le numéro
La troncature réduit la précision à zéro et n'applique pas les règles d'arrondi ou d'égalité.
Qu'est-ce que la troncature ?
La troncature supprime les chiffres d'un nombre au-delà d'une position spécifiée sans arrondir les chiffres restants. Pour les nombres décimaux, la troncature vers zéro supprime les chiffres fractionnaires non désirés tout en gardant le nombre plus proche de zéro.
Comment fonctionne la troncature ?
Appliquer la troncature nécessite de suivre une règle simple et stricte :
Commencez avec le nombre d'origine
Par exemple, prenez le nombre 45.6789.
Choisissez la position à conserver
Décidez du nombre de décimales à retenir (par exemple, 2 décimales).
Conservez les chiffres jusqu'à cette position
Identifiez les chiffres jusqu'au point de coupure (45.67).
Supprimez tous les chiffres après
Jetez tout le reste (89). Ne modifiez pas les chiffres retenus, ce qui donne 45.67. Aucun arrondi ne se produit.
Comment tronquer un nombre en un nombre entier
La troncature en un nombre entier supprime simplement toute la partie fractionnaire de la valeur, ne laissant que l'entier.
- 2.99 → 2
- 2.01 → 2
- −2.99 → −2
- −2.01 → −2
Remarquez que pour les nombres négatifs, la troncature supprime la fraction, ce qui signifie que le résultat se rapproche de zéro. C'est une différence critique par rapport à la fonction plancher mathématique.
Troncature de −2.99 = −2
Comment tronquer à des décimales
Pour tronquer un nombre à un nombre spécifique de décimales, vous conservez simplement ce nombre de chiffres après la virgule et supprimez le reste.
Exemple pour 12.9876 :
- 1 décimale : 12.9876 → 12.9
- 2 décimales : 12.9876 → 12.98
- 3 décimales : 12.9876 → 12.987
- 4 décimales : 12.9876 → 12.9876
Exemple pour −12.9876 (Le signe ne change pas) :
- 1 décimale : −12.9876 → −12.9
- 2 décimales : −12.9876 → −12.98
- 3 décimales : −12.9876 → −12.987
Comment la troncature gère-t-la les nombres négatifs ?
La troncature vers zéro déplace les nombres négatifs strictement vers zéro.
Étant donné que le signe négatif reste inchangé et que la partie fractionnaire est simplement supprimée, la valeur résultante est techniquement supérieure à l'originale (par exemple, −3 est supérieur à −3.9).
- −3.9 → −3
- −3.5 → −3
- −3.1 → −3
- −3.99 à 1 décimale → −3.9
- −3.99 à 2 décimales → −3.99
| Méthode | Entrée : −3.9 | Résultat |
|---|---|---|
| Troncature | −3.9 | −3 |
| Plancher | −3.9 | −4 |
| Plafond | −3.9 | −3 |
Il s'agit d'une distinction critique : la troncature se comporte de manière identique à la fonction plafond pour les valeurs négatives, alors qu'elle se comporte comme la fonction plancher pour les valeurs positives.
Comment la troncature gère-t-la les nombres positifs ?
Pour les nombres positifs, les chiffres fractionnaires sont simplement supprimés, ce qui signifie que le nombre se déplace vers zéro (vers le bas sur la droite numérique).
- 3.9 → 3
- 3.99 → 3
- 15.678 → 15.67
- 123.4567 → 123.45
Que se passe-t-il lorsque le nombre est déjà un entier ?
Si le nombre est déjà un entier (un nombre entier), la troncature le laisse complètement inchangé car il n'y a pas de chiffres fractionnaires à supprimer.
- 5 → 5
- 0 → 0
- −5 → −5
- 100 → 100
Quelle est la troncature de zéro ?
Tronquer zéro ou toute variation de zéro donne simplement zéro.
- 0 → 0
- 0.0 → 0
- −0.5 → 0 (lors de la troncature vers zéro en un nombre entier)
Tronquer des fractions
La troncature peut également s'appliquer après l'évaluation d'une fraction dans sa forme décimale.
Exemple 1 : 7 / 3 = 2.333...
Tronquer à 2 décimales : 2.33
Exemple 2 : 11 / 4 = 2.75
Tronquer à 1 décimale : 2.7
Exemple 3 : −7 / 3 = −2.333...
Tronquer vers zéro à 2 décimales : −2.33
Exemples de troncature
| Entrée | Cible | Résultat tronqué | Explication |
|---|---|---|---|
| 2.99 | Nombre entier | 2 | Supprimer la partie fractionnaire |
| −2.99 | Nombre entier | −2 | Déplacer vers zéro |
| 45.6789 | 2 décimales | 45.67 | Supprimer les chiffres après la deuxième décimale |
| 12.9876 | 1 décimale | 12.9 | Supprimer les chiffres après la première décimale |
| −12.9876 | 2 décimales | −12.98 | Supprimer les chiffres après la deuxième décimale |
| 7.999 | 2 décimales | 7.99 | Aucun arrondi ne se produit |
Formule de troncature
Le concept mathématique derrière la troncature vers zéro à un nombre spécifique de décimales (n) implique de mettre à l'échelle le nombre, de supprimer la fraction, et de le remettre à l'échelle.
Cela fonctionne en :
- Multipliant par 10ⁿ pour déplacer la place décimale cible vers la position entière.
- Tronquant vers zéro pour supprimer la partie fractionnaire restante.
- Divisant par 10ⁿ pour restaurer le placement décimal d'origine.
Exemple positif
Tronquer 12.987 à 2 décimales :
- 12.987 × 100 = 1298.7
- trunc(1298.7) = 1298
- 1298 / 100 = 12.98
Exemple négatif
Tronquer −12.987 à 2 décimales :
- −12.987 × 100 = −1298.7
- trunc(−1298.7) = −1298
- −1298 / 100 = −12.98
Fonction de troncature
Mathématiquement, la troncature vers zéro pour un nombre réel x peut être définie par morceaux en utilisant les fonctions plancher et plafond :
trunc(x) = ceiling(x) when x < 0
Alternativement, en utilisant la fonction signe (sgn ou sign) et la valeur absolue (|x|) :
Les deux formules appliquent mathématiquement la règle de "déplacement vers zéro" pour les valeurs positives et négatives.
Troncature vs Arrondi
La troncature et l'arrondi sont des opérations fondamentalement différentes. La troncature ignore tout simplement les chiffres jetés. L'arrondi utilise les chiffres jetés pour décider si les chiffres retenus doivent être augmentés.
Exemple 1 : 2.987
- Tronquer à 2 décimales : 2.98
- Arrondir à 2 décimales : 2.99
Exemple 2 : 2.983
- Tronquer à 2 décimales : 2.98
- Arrondir à 2 décimales : 2.98
Exemple 3 : −2.987
- Tronquer vers zéro : −2.98
- Arrondir au centième près : −2.99
La troncature n'implique pas qu'il s'agisse d'un type d'arrondi à la valeur la plus proche ; c'est un mécanisme de coupure distinct.
Troncature vs Fonction plancher
La troncature déplace les valeurs vers zéro. La fonction plancher déplace les valeurs vers l'infini négatif.
Pour les nombres positifs, elles agissent de la même manière. Pour les nombres négatifs, elles se déplacent dans des directions opposées. Cela rend la différence pour les nombres négatifs extrêmement claire.
| Entrée | Tronquer (Vers zéro) | Plancher (Vers −∞) |
|---|---|---|
| 2.7 | 2 | 2 |
| 2.1 | 2 | 2 |
| −2.1 | −2 | −3 |
| −2.7 | −2 | −3 |
| −5.9 | −5 | −6 |
Troncature vs Fonction plafond
La troncature se déplace vers zéro. La fonction plafond se déplace vers l'infini positif.
Pour les valeurs négatives, la troncature et le plafond produisent souvent le même résultat entier parce que se déplacer vers l'infini positif à partir d'une décimale négative mène à zéro. Pour les nombres positifs, elles diffèrent.
| Entrée | Tronquer | Plafond |
|---|---|---|
| 2.7 | 2 | 3 |
| −2.7 | −2 | −2 |
| −2.1 | −2 | −2 |
La troncature est-elle la même chose que l'arrondi par défaut ?
Non. La troncature vers zéro et l'arrondi mathématique plancher (souvent appelé de manière informelle "arrondir par défaut") sont des opérations différentes pour les nombres négatifs.
Considérez la valeur −2.7 :
- Troncature → −2
- Plancher (Arrondi par défaut) → −3
Parce que le terme "arrondir par défaut" peut être ambigu, clarifiez toujours si vous voulez dire vous déplacer strictement vers l'infini négatif (plancher) ou supprimer des chiffres vers zéro (tronquer).
Troncature vs Arrondi de la moitié au supérieur
L'arrondi de la moitié au supérieur prend en compte le chiffre suivant pour décider s'il faut modifier la valeur retenue, poussant les égalités exactes loin de zéro.
Pour 2.65 à 1 décimale :
- Troncature → 2.6
- Arrondi de la moitié au supérieur → 2.7
Pour −2.65 à 1 décimale :
- Troncature → −2.6
- Arrondi de la moitié au supérieur → −2.7
Troncature vs Arrondi du banquier
L'arrondi du banquier est une règle de la valeur la plus proche avec une gestion spéciale pour les cas exactement à mi-chemin. La troncature supprime simplement les chiffres sans aucune règle de départage.
Pour 2.65 à 1 décimale (exactement à mi-chemin, conservant un chiffre pair) :
- Troncature → 2.6
- Arrondi du banquier → 2.6
Pour 2.75 à 1 décimale (exactement à mi-chemin, conservant un chiffre impair) :
- Troncature → 2.7
- Arrondi du banquier → 2.8
La troncature sur une droite numérique
Visuellement, la troncature tire toujours une valeur non entière vers l'intérieur en direction de zéro sur la droite numérique.
- Pour les valeurs positives (2.8 → 2), elle tire la valeur vers la gauche (vers zéro).
- Pour les valeurs négatives (−2.8 → −2), elle tire la valeur vers la droite (vers zéro).
Comparez cela au plancher, qui se déplace toujours vers la gauche (−2.8 → −3) quel que soit le signe.
Quand devriez-vous utiliser la troncature ?
La troncature est très spécifique et doit être utilisée en fonction des exigences du calcul. Vous devriez utiliser la troncature lorsque :
- Vous affichez un nombre fixe de décimales sans arrondir.
- Vous supprimez entièrement une précision supplémentaire.
- Vous traitez des mesures où la coupure spécifiée est intentionnelle.
- Vous effectuez certaines tâches de programmation et de traitement de données.
- Vous implémentez un affichage numérique contrôlé où l'augmentation de la valeur affichée serait indésirable.
La troncature n'est pas toujours meilleure ou pire ; elle répond simplement à des besoins analytiques distincts par rapport à l'arrondi standard.
Utilisations réelles de la troncature
Des exemples concrets où la troncature est préférée incluent :
- Affichage financier : Certains affichages financiers spécifiques nécessitent explicitement de tronquer les centimes partiels vers le bas pour éviter d'afficher des soldes gonflés, bien que l'arithmétique réelle nécessite souvent des règles d'arrondi spécifiques.
- Données de mesure et valeurs de capteurs : Supprimer la précision excessive du bruit des capteurs avant le stockage pour économiser de l'espace.
- Affichages numériques : Les barres de progression indiquant 99,9 % de réalisation seront souvent tronquées à 99 % pour éviter d'afficher 100 % prématurément.
- Rapports de données : Les statistiques et le prétraitement des données utilisent souvent la troncature pour regrouper des données démographiques de manière sécurisée.
- Calculs scientifiques : Les environnements où une coupure fixe est requise par un protocole strict.
La troncature en programmation
Les langages de programmation fournissent différentes fonctions spécifiquement destinées à tronquer des valeurs.
La troncature en Python
Utilisez la fonction math.trunc() du module math pour tronquer un nombre vers zéro. Ne la confondez pas avec math.floor().
math.trunc(2.99) // Returns 2
math.trunc(-2.99) // Returns -2
La troncature en JavaScript
Utilisez la fonction Math.trunc() pour supprimer facilement les chiffres fractionnaires d'un nombre vers zéro.
Math.trunc(-2.99) // Returns -2
La troncature en Java
En Java, le forçage de type explicite (cast) d'un nombre à virgule flottante en un entier effectue une troncature mathématique.
(int) -2.99 // Returns -2
La troncature en C#
Utilisez Math.Truncate() qui supprime la partie fractionnaire vers zéro.
Math.Truncate(-2.99) // Returns -2
La troncature dans Excel
Utilisez la fonction TRUNC(number, num_digits). Par défaut, elle tronque à un nombre entier, mais vous pouvez facilement spécifier des décimales.
TRUNC(-2.987, 2) // Returns -2.98
TRUNC(2.987) // Returns 2
La troncature en SQL
Différents systèmes de bases de données utilisent différentes fonctions. PostgreSQL et Oracle offrent une fonction native TRUNC(), tandis que SQL Server s'appuie souvent sur ROUND(value, decimals, 1) pour forcer la troncature au lieu de l'arrondi.
Erreurs courantes de troncature
- Penser que la troncature signifie l'arrondi au plus proche : Correction — La troncature ignore entièrement les chiffres rejetés et n'arrondit jamais au supérieur.
- Penser que la troncature se déplace toujours vers le bas : Correction — Elle se déplace vers zéro. Pour les nombres négatifs, cela signifie que la valeur se déplace techniquement vers le haut (par exemple, −3.9 devient −3).
- Confondre la troncature avec le plancher : Correction — Le plancher se déplace vers l'infini négatif. La troncature se déplace vers zéro.
- Confondre la troncature avec le plafond : Correction — Le plafond se déplace vers l'infini positif. La troncature se déplace vers zéro.
- Oublier que les nombres négatifs se déplacent vers zéro : Correction — −2.9 est tronqué en −2, et non en −3.
- Utiliser la troncature lorsqu'un arrondi au plus proche est requis : Correction — N'utilisez pas la troncature pour approximer des valeurs ; utilisez-la uniquement lorsqu'une coupure stricte est souhaitée.
- Supposer que les chiffres jetés affectent les chiffres retenus : Correction — La troncature n'ajuste jamais le chiffre retenu en fonction de ce qui a été supprimé.
- Confondre le formatage de l'affichage des décimales avec la troncature mathématique : Correction — Les composants d'interface utilisateur qui masquent les décimales appliquent parfois un arrondi sous le capot. Vérifiez votre couche d'affichage.
- Utiliser la troncature dans les calculs financiers sans vérifier les règles requises : Correction — Les mathématiques financières imposent souvent des règles d'arrondi standardisées pour éviter de détruire de la valeur.
Référence rapide de la troncature
La troncature vers zéro supprime la partie fractionnaire sans arrondir la valeur restante.
| Entrée | Tronquer en un nombre entier |
|---|---|
| 2.9 | 2 |
| 2.1 | 2 |
| −2.9 | −2 |
| −2.1 | −2 |
| 5 | 5 |
| −5 | −5 |
Pratique de la troncature
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