وظيفة الكلمة

تُرجع دالة الجزء الصحيح (⌊x⌋) أكبر عدد صحيح أصغر من أو يساوي العدد المعطى.

ينص التعريف الرياضي لدالة الجزء الصحيح على أن ⌊x⌋ هو أكبر عدد صحيح n بحيث يكون n ≤ x.

يمكن التعبير عن ذلك أيضًا كمتباينة: n ≤ x < n + 1، حيث n = ⌊x⌋.

بعبارات بسيطة، يعني هذا أنه إذا كان للرقم أي جزء كسري، فإنك تتحرك لأسفل إلى أقرب عدد صحيح أسفله على خط الأعداد. إذا كان بالفعل عددًا صحيحًا تامًا، فإنه لا يتغير.

يستخدم الترميز القياسي لدالة الجزء الصحيح أقواسًا خاصة تفتقر إلى أشرطتها الأفقية العلوية: ⌊x⌋.

• أقواس الجزء الصحيح (Floor): ⌊x⌋ (أقواس مربعة تفتقر إلى الجزء العلوي، وتشبه بصريًا "الأرضية").
• أقواس السقف (Ceiling): ⌈x⌉ (أقواس مربعة تفتقر إلى الجزء السفلي، وتشبه بصريًا "السقف").

لا تخلط بين أقواس الجزء الصحيح والأقواس العادية (x) أو الأقواس المربعة القياسية [x]، حيث إن لها معاني رياضية مختلفة.

يتبع تطبيق دالة الجزء الصحيح قاعدة اتجاهية واضحة على خط الأعداد:

أمثلة

الأرقام الموجبة:

• ⌊2.1⌋ = 2
• ⌊2.9⌋ = 2
• ⌊7.01⌋ = 7

الأعداد الصحيحة:

• ⌊4⌋ = 4

الأرقام السالبة:

• ⌊−2.1⌋ = −3
• ⌊−2.9⌋ = −3

اللانهاية السالبة هي اتجاه على خط الأعداد، يتحرك دائمًا إلى اليسار. عندما يتم تطبيق دالة الجزء الصحيح على أي قيمة غير صحيحة، فإنها تدفع القيمة بدقة في هذا الاتجاه نحو اليسار.

بالنسبة للقيم الموجبة، فإن التحرك إلى اليسار يعني تقليل المقدار:

• 2.1 → 2
• 2.9 → 2

بالنسبة للقيم السالبة، فإن التحرك إلى اليسار يعني الابتعاد أكثر عن الصفر (زيادة المقدار في الاتجاه السالب):

• −2.1 → −3
• −2.9 → −3

لا تفكر ببساطة في دالة الجزء الصحيح على أنها "تقريب لأسفل" دون معرفة ما يعنيه "لأسفل". في الرياضيات، "لأسفل" تعني "نحو اللانهاية السالبة"، وليس "نحو الصفر."

غالبًا ما تسبب الأرقام السالبة ارتباكًا مع دالة الجزء الصحيح. الخطأ الشائع هو افتراض أن ⌊−2.1⌋ يساوي −2. ومع ذلك، فإن ⌊−2.1⌋ = −3.

لماذا؟ لأن القاعدة هي إيجاد أكبر عدد صحيح أصغر من أو يساوي الإدخال.

على خط الأعداد، −3 أصغر من −2.1، لكن −2 أكبر من −2.1. نظرًا لأن دالة الجزء الصحيح تتطلب عددًا صحيحًا أصغر من أو يساوي الإدخال، فيجب أن تنتقل إلى −3:

أمثلة أخرى:

• ⌊−2.9⌋ = −3
• ⌊−3⌋ = −3

عندما يكون الإدخال بالفعل عددًا صحيحًا تامًا، تترك دالة الجزء الصحيح القيمة دون تغيير تمامًا.

• ⌊1⌋ = 1
• ⌊0⌋ = 0
• ⌊−1⌋ = −1
• ⌊10⌋ = 10

بالنسبة للأعداد العشرية والكسور، تقوم دالة الجزء الصحيح فعليًا بإزالة الجزء الكسري للأرقام الموجبة، ولكن بالنسبة للأرقام السالبة، فإنها تنخفض إلى العدد الصحيح الأقل التالي.

الكسور:

• ⌊7/3⌋ = 2
• ⌊11/4⌋ = 2
• ⌊−7/3⌋ = −3
• ⌊−11/4⌋ = −3

الأعداد العشرية الموجبة:

• ⌊1.1⌋ = 1
• ⌊1.5⌋ = 1
• ⌊1.99⌋ = 1
• ⌊3.001⌋ = 3

الأعداد العشرية السالبة:

• ⌊−1.1⌋ = −2
• ⌊−1.99⌋ = −2
• ⌊−3.001⌋ = −4

أحيانًا تحتاج إلى تطبيق دالة الجزء الصحيح على عدد معين من المنازل العشرية (على سبيل المثال، دالة الجزء الصحيح لمنزلتين عشريتين). يتم ذلك باستخدام طريقة القياس: اضرب في قوة العدد 10، وطبق دالة الجزء الصحيح، ثم اقسم للعودة.

• الجزء الصحيح للعدد 2.349 إلى منزلتين عشريتين: ⌊2.349 × 100⌋ / 100 = ⌊234.9⌋ / 100 = 234 / 100 = 2.34
• الجزء الصحيح للعدد 2.341 إلى منزلة عشرية واحدة: ⌊2.341 × 10⌋ / 10 = ⌊23.41⌋ / 10 = 23 / 10 = 2.3
• الجزء الصحيح للعدد 7.999 إلى منزلتين عشريتين: 7.99

بالنسبة للأرقام السالبة، لا تزال القيمة تتجه نحو اللانهاية السالبة:

• الجزء الصحيح للعدد −2.341 إلى منزلتين عشريتين: ⌊−2.341 × 100⌋ / 100 = ⌊−234.1⌋ / 100 = −235 / 100 = −2.35

دالة السقف (Ceiling Function) هي العكس تمامًا لدالة الجزء الصحيح. تتجه دالة الجزء الصحيح دائمًا نحو اللانهاية السالبة، بينما تتجه دالة السقف دائمًا نحو اللانهاية الموجبة.

يختار التقريب الأقرب (التقريب للنصف للأعلى) العدد الصحيح الأقرب. دالة الجزء الصحيح لا تهتم بالعدد الصحيح الأقرب؛ إنها تختار دائمًا أكبر عدد صحيح أصغر من أو يساوي الإدخال.

• 2.3: الجزء الصحيح → 2 | التقريب الأقرب → 2
• 2.7: الجزء الصحيح → 2 | التقريب الأقرب → 3
• −2.3: الجزء الصحيح → −3 | التقريب الأقرب → −2
• −2.7: الجزء الصحيح → −3 | التقريب الأقرب → −3

وظيفة الجزء الصحيح (Integer Part) تقوم ببساطة باستخراج الأرقام الصحيحة من رقم، وتتخلص من الجزء العشري. هذا يحرك القيمة بشكل صارم نحو الصفر، مما يخلق فرقًا حاسمًا للأرقام السالبة.

• 2.7: دالة الجزء الصحيح = 2 | وظيفة الجزء الصحيح = 2
• −2.7: دالة الجزء الصحيح = −3 | وظيفة الجزء الصحيح = −2

وهذا يعزز التمييز بأن دالة الجزء الصحيح هي عملية اتجاهية (نحو اللانهاية السالبة)، وليست مجرد اقتطاع بسيط.

يقوم الاقتطاع ببساطة بقطع (إزالة) الجزء الكسري من الرقم، محركًا القيمة بشكل صارم نحو الصفر. تتجه دالة الجزء الصحيح نحو اللانهاية السالبة. يصبح هذا الاختلاف مهمًا مع الأرقام السالبة.

• 2.8: الجزء الصحيح → 2 | الاقتطاع → 2
• −2.8: الجزء الصحيح → −3 | الاقتطاع → −2

يمكن أن يكون مصطلح "التقريب لأسفل" غامضًا. في المصطلحات الرياضية الصارمة، عادة ما يكون "التقريب لأسفل" مرادفًا لدالة الجزء الصحيح (التحرك نحو اللانهاية السالبة). ومع ذلك، في بعض السياقات المالية، يعني "التقريب لأسفل" الاقتطاع (التحرك نحو الصفر).

على سبيل المثال، مع −2.7، ينتج عن دالة الجزء الصحيح −3، لكن الاقتطاع ينتج عنه −2.

الرسم البياني لدالة الجزء الصحيح، y = ⌊x⌋، هو رسم بياني متدرج (يُعرف أيضًا بالدالة الدرجية). يظل مسطحًا تمامًا لجميع القيم بين الأعداد الصحيحة، ثم يقفز لأعلى عند كل عدد صحيح.

بالنسبة لكل عدد صحيح n حيث n ≤ x < n + 1، فإن قيمة الجزء الصحيح هي بالضبط n.

• بالنسبة 0 ≤ x < 1، ⌊x⌋ = 0
• بالنسبة 1 ≤ x < 2، ⌊x⌋ = 1
• بالنسبة −1 ≤ x < 0، ⌊x⌋ = −1

على الرسم البياني، النهاية اليسرى لكل درجة أفقية هي دائرة مغلقة (مما يعني أنها تتضمن العدد الصحيح)، والنهاية اليمنى هي دائرة مفتوحة (مما يعني أنها لا تتضمن العدد الصحيح التالي).

يتم تعريف دالة الجزء الصحيح رسميًا باستخدام تدوين المجموعات على النحو التالي:

بلغة بسيطة، تقول هذه الصيغة: "انظر إلى مجموعة جميع الأعداد الصحيحة (ℤ) التي هي أصغر من أو تساوي x، واختر القيمة العظمى (max) من تلك المجموعة."

• الهوية للأعداد الصحيحة: ⌊x⌋ = x عندما يكون x عددًا صحيحًا.
• الحدود: x − 1 < ⌊x⌋ ≤ x بالنسبة لـ x غير الصحيح.
• التناظر مع السقف: ⌊x⌋ = −⌈−x⌉.
• إضافة عدد صحيح: ⌊x + n⌋ = ⌊x⌋ + n لأي عدد صحيح n.

تتمتع دالة الجزء الصحيح بأهمية هائلة في سيناريوهات العالم الحقيقي، خاصة عندما لا يمكن عد العناصر الجزئية أو استخدامها.

• الوحدات المكتملة: إذا كان لديك 29 عنصرًا وكل مجموعة كاملة تتطلب 10 عناصر، فإن عدد المجموعات الممتلئة تمامًا هو ⌊29 / 10⌋ = 2.
• علوم الكمبيوتر: العثور على فهارس المصفوفات، تحويل إحداثيات النقطة العائمة إلى إحداثيات بكسل على الشاشة.
• تخصيص الموارد: تحديد عدد الساعات الكاملة لخدمة يمكنك تحمل تكلفتها بميزانية معينة.
• معالجة البيانات: تجميع البيانات في سلال زمنية محددة (على سبيل المثال، تجميع السجلات بالساعة).

دالة الجزء الصحيح في Python

دالة الجزء الصحيح في JavaScript

دالة الجزء الصحيح في Java

دالة الجزء الصحيح في C#

دالة الجزء الصحيح في Excel

يحتوي برنامج Excel على دوال متعددة للجزء الصحيح. الدالة FLOOR.MATH(number, significance, mode) هي الأقوى، حيث تقوم دائمًا بالتقريب نحو اللانهاية السالبة افتراضيًا. الدالة FLOOR(number, significance) يمكن أن تنتج خطأ للأرقام السالبة إذا لم تتطابق الإشارات.

بجانب الحساب الأساسي، يتم استخدام دالة الجزء الصحيح بكثرة في الرياضيات المتقدمة:

• نظرية الأعداد: تُستخدم في الصيغ التي تتضمن الأعداد الأولية وقابلية القسمة.
• الحساب المعياري: غالبًا ما يتم تعريف عملية باقي القسمة (Modulo) على أنها a mod n = a − n × ⌊a / n⌋.
• الرياضيات المتقطعة: تحويل دوال المجال المستمر إلى دوال متقطعة ذات قيم صحيحة.

• الخلط بين دالة الجزء الصحيح والاقتطاع: يقطع الاقتطاع الجزء العشري (يتحرك نحو الصفر). دالة الجزء الصحيح تتجه نحو اللانهاية السالبة. التصحيح: بالنسبة للأرقام السالبة، تجعل دالة الجزء الصحيح المقدار أكبر، بينما يجعله الاقتطاع أصغر.
• نسيان أن الأرقام السالبة تتجه نحو اللانهاية السالبة: يعتقد الكثيرون خطأً أن ⌊−2.7⌋ هي −2. التصحيح: إنها −3.
• الخلط بين الجزء الصحيح والسقف: التصحيح: تتجه دالة الجزء الصحيح يسارًا على خط الأعداد؛ بينما يتجه السقف يمينًا.
• استخدام دالة الجزء الصحيح عندما يكون التقريب الأقرب مطلوبًا: تتجاهل دالة الجزء الصحيح العدد الصحيح الأقرب. التصحيح: إذا كنت بحاجة إلى أقرب قيمة إلى 2.9، استخدم التقريب الأقرب للحصول على 3، وليس دالة الجزء الصحيح.

تُرجع دالة الجزء الصحيح أكبر عدد صحيح أصغر من أو يساوي الإدخال.

اختبر فهمك لدالة الجزء الصحيح باستخدام هذه الأمثلة. انقر فوق السؤال لإظهار الإجابة.