Fungsi Lantai

Fungsi floor (⌊x⌋) mengembalikan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan angka yang diberikan.

Definisi matematis dari fungsi floor menyatakan bahwa ⌊x⌋ adalah bilangan bulat terbesar n sedemikian rupa sehingga n ≤ x.

Ini juga dapat dinyatakan sebagai pertidaksamaan: n ≤ x < n + 1, di mana n = ⌊x⌋.

Dalam istilah sederhana, ini berarti jika suatu angka memiliki bagian pecahan apa pun, Anda turun ke bilangan bulat terdekat di bawahnya pada garis bilangan. Jika sudah berupa bilangan bulat persis, angkanya tidak berubah.

Notasi standar untuk fungsi floor menggunakan kurung khusus yang tidak memiliki garis horizontal atasnya: ⌊x⌋.

• Kurung floor: ⌊x⌋ (Kurung siku yang tidak memiliki bagian atas, secara visual menyerupai "lantai" (floor)).
• Kurung ceiling: ⌈x⌉ (Kurung siku yang tidak memiliki bagian bawah, secara visual menyerupai "langit-langit" (ceiling)).

Jangan bingung antara kurung floor dengan tanda kurung biasa (x) atau kurung siku standar [x], karena keduanya memiliki arti matematis yang berbeda.

Menerapkan fungsi floor mengikuti aturan arah yang jelas pada garis bilangan:

Contoh

Angka Positif:

• ⌊2.1⌋ = 2
• ⌊2.9⌋ = 2
• ⌊7.01⌋ = 7

Bilangan Bulat:

• ⌊4⌋ = 4

Angka Negatif:

• ⌊−2.1⌋ = −3
• ⌊−2.9⌋ = −3

Tak terhingga negatif adalah sebuah arah pada garis bilangan, selalu bergerak ke kiri. Saat fungsi floor diterapkan pada nilai non-bilangan bulat mana pun, ia mendorong nilai tersebut secara ketat ke arah kiri.

Untuk nilai positif, bergerak ke kiri berarti mengurangi besarannya (magnitudo):

• 2.1 → 2
• 2.9 → 2

Untuk nilai negatif, bergerak ke kiri berarti bergerak menjauh dari nol (meningkatkan besaran dalam arah negatif):

• −2.1 → −3
• −2.9 → −3

Jangan sekadar menganggap fungsi floor sebagai "pembulatan ke bawah" tanpa mengetahui apa arti "ke bawah". Dalam matematika, "ke bawah" berarti "menuju tak terhingga negatif", bukan "menuju nol."

Angka negatif sering kali menyebabkan kebingungan dengan fungsi floor. Kesalahan yang sering terjadi adalah menganggap bahwa ⌊−2.1⌋ sama dengan −2. Namun, ⌊−2.1⌋ = −3.

Mengapa? Karena aturannya adalah menemukan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan input.

Pada garis bilangan, −3 lebih kecil dari −2.1, tetapi −2 lebih besar dari −2.1. Karena fungsi floor membutuhkan bilangan bulat yang lebih kecil dari atau sama dengan input, ia harus bergerak ke −3:

Contoh lainnya:

• ⌊−2.9⌋ = −3
• ⌊−3⌋ = −3

Saat input sudah berupa bilangan bulat persis, fungsi floor membiarkan nilai tersebut sama sekali tidak berubah.

• ⌊1⌋ = 1
• ⌊0⌋ = 0
• ⌊−1⌋ = −1
• ⌊10⌋ = 10

Untuk angka desimal dan pecahan, fungsi floor secara efektif menghilangkan bagian pecahan untuk angka positif, tetapi untuk angka negatif, nilainya turun ke bilangan bulat di bawahnya.

Pecahan:

• ⌊7/3⌋ = 2
• ⌊11/4⌋ = 2
• ⌊−7/3⌋ = −3
• ⌊−11/4⌋ = −3

Desimal Positif:

• ⌊1.1⌋ = 1
• ⌊1.5⌋ = 1
• ⌊1.99⌋ = 1
• ⌊3.001⌋ = 3

Desimal Negatif:

• ⌊−1.1⌋ = −2
• ⌊−1.99⌋ = −2
• ⌊−3.001⌋ = −4

Terkadang Anda perlu menerapkan fungsi floor ke jumlah tempat desimal tertentu (misalnya, floor ke 2 tempat desimal). Ini dilakukan menggunakan metode penskalaan: kalikan dengan pangkat 10, terapkan fungsi floor, dan bagi kembali.

• Floor 2.349 ke 2 tempat desimal: ⌊2.349 × 100⌋ / 100 = ⌊234.9⌋ / 100 = 234 / 100 = 2.34
• Floor 2.341 ke 1 tempat desimal: ⌊2.341 × 10⌋ / 10 = ⌊23.41⌋ / 10 = 23 / 10 = 2.3
• Floor 7.999 ke 2 tempat desimal: 7.99

Untuk angka negatif, nilainya tetap bergerak menuju tak terhingga negatif:

• Floor −2.341 ke 2 tempat desimal: ⌊−2.341 × 100⌋ / 100 = ⌊−234.1⌋ / 100 = −235 / 100 = −2.35

Fungsi ceiling adalah kebalikan persis dari fungsi floor. Fungsi floor selalu bergerak menuju tak terhingga negatif, sedangkan fungsi ceiling selalu bergerak menuju tak terhingga positif.

Pembulatan terdekat (Round Half Up) memilih bilangan bulat terdekat. Fungsi floor tidak peduli bilangan bulat mana yang lebih dekat; ia selalu memilih bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan input.

• 2.3: Floor → 2 | Pembulatan terdekat → 2
• 2.7: Floor → 2 | Pembulatan terdekat → 3
• −2.3: Floor → −3 | Pembulatan terdekat → −2
• −2.7: Floor → −3 | Pembulatan terdekat → −3

Fungsi bagian bilangan bulat (integer part) sekadar mengekstrak digit bilangan bulat dari sebuah angka, menghilangkan desimalnya. Ini memindahkan nilai secara ketat menuju nol, yang menciptakan perbedaan penting untuk angka negatif.

• 2.7: Floor = 2 | Bagian bilangan bulat = 2
• −2.7: Floor = −3 | Bagian bilangan bulat = −2

Ini menegaskan perbedaan bahwa floor adalah operasi searah (menuju tak terhingga negatif), bukan sekadar pemotongan (truncation).

Pemotongan (Truncation) sekadar memotong (menghilangkan) bagian pecahan dari sebuah angka, memindahkan nilai secara ketat menuju nol. Floor bergerak menuju tak terhingga negatif. Perbedaan ini menjadi penting dengan angka negatif.

• 2.8: Floor → 2 | Truncate → 2
• −2.8: Floor → −3 | Truncate → −2

Istilah "round down" bisa jadi ambigu. Dalam terminologi matematis yang ketat, "round down" biasanya bersinonim dengan fungsi floor (bergerak menuju tak terhingga negatif). Namun, dalam beberapa konteks keuangan, "round down" berarti pemotongan (bergerak menuju nol).

Sebagai contoh, dengan −2.7, floor menghasilkan −3, tetapi pemotongan menghasilkan −2.

Grafik dari fungsi floor, y = ⌊x⌋, adalah grafik berbentuk tangga (juga dikenal sebagai fungsi tangga). Grafiknya tetap datar sempurna untuk semua nilai di antara bilangan bulat, dan kemudian melompat naik pada setiap bilangan bulat.

Untuk setiap bilangan bulat n di mana n ≤ x < n + 1, nilai floor-nya tepat n.

• Untuk 0 ≤ x < 1, ⌊x⌋ = 0
• Untuk 1 ≤ x < 2, ⌊x⌋ = 1
• Untuk −1 ≤ x < 0, ⌊x⌋ = −1

Pada grafik, ujung kiri setiap anak tangga horizontal adalah lingkaran tertutup (berarti termasuk bilangan bulat tersebut), dan ujung kanan adalah lingkaran terbuka (berarti tidak termasuk bilangan bulat berikutnya).

Fungsi floor secara formal didefinisikan dalam notasi himpunan sebagai:

Dalam bahasa sederhana, rumus ini menyatakan: "Lihatlah himpunan semua bilangan bulat (ℤ) yang lebih kecil dari atau sama dengan x, dan pilih nilai maksimum (max) dari himpunan tersebut."

• Identitas untuk bilangan bulat: ⌊x⌋ = x saat x adalah bilangan bulat.
• Batas: x − 1 < ⌊x⌋ ≤ x untuk x non-bilangan bulat.
• Simetri dengan ceiling: ⌊x⌋ = −⌈−x⌉.
• Penambahan bilangan bulat: ⌊x + n⌋ = ⌊x⌋ + n untuk sembarang bilangan bulat n.

Fungsi floor memiliki arti yang sangat penting dalam skenario dunia nyata, khususnya ketika barang parsial tidak dapat dihitung atau digunakan.

• Unit yang diselesaikan: Jika Anda memiliki 29 item dan setiap grup lengkap memerlukan 10 item, jumlah grup yang terisi penuh adalah ⌊29 / 10⌋ = 2.
• Ilmu komputer: Menemukan indeks array, mengubah koordinat titik-mengambang (floating-point) menjadi koordinat piksel pada layar.
• Alokasi sumber daya: Menentukan berapa jam penuh layanan yang Anda mampu bayar dengan anggaran tertentu.
• Pemrosesan data: Mengelompokkan data ke dalam bin waktu tertentu (misalnya, mengelompokkan log per jam).

Fungsi Floor di Python

Fungsi Floor di JavaScript

Fungsi Floor di Java

Fungsi Floor di C#

Fungsi Floor di Excel

Excel memiliki beberapa fungsi floor. FLOOR.MATH(number, significance, mode) adalah yang paling kuat, selalu membulatkan menuju tak terhingga negatif secara default. FLOOR(number, significance) dapat menghasilkan kesalahan pada angka negatif jika tandanya tidak cocok.

Di luar aritmatika dasar, fungsi floor sangat sering dimanfaatkan dalam matematika tingkat lanjut:

• Teori bilangan: Digunakan dalam rumus yang melibatkan bilangan prima dan keterbagian (divisibility).
• Aritmatika modular: Operasi modulo sering kali didefinisikan sebagai a mod n = a − n × ⌊a / n⌋.
• Matematika diskrit: Mengubah fungsi domain kontinu menjadi fungsi bernilai bilangan bulat diskrit.

• Membingungkan floor dengan pemotongan (truncation): Pemotongan memotong desimal (bergerak menuju nol). Floor bergerak menuju tak terhingga negatif. Koreksi: Untuk angka negatif, floor membuat besarannya lebih besar, pemotongan membuatnya lebih kecil.
• Lupa bahwa angka negatif bergerak menuju tak terhingga negatif: Banyak yang secara keliru percaya bahwa ⌊−2.7⌋ adalah −2. Koreksi: Jawabannya adalah −3.
• Membingungkan floor dengan ceiling: Koreksi: Floor bergerak ke kiri pada garis bilangan; ceiling bergerak ke kanan.
• Menggunakan floor padahal yang dibutuhkan adalah pembulatan terdekat: Floor mengabaikan bilangan bulat terdekat. Koreksi: Jika Anda membutuhkan nilai terdekat ke 2.9, gunakan pembulatan terdekat untuk mendapatkan 3, bukan floor.

Fungsi floor mengembalikan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan input.

Uji pemahaman Anda tentang fungsi floor dengan contoh-contoh berikut. Klik pada pertanyaan untuk melihat jawabannya.