Fonction du sol

La fonction plancher (⌊x⌋) renvoie le plus grand entier inférieur ou égal à un nombre donné.

La définition mathématique de la fonction plancher stipule que ⌊x⌋ est le plus grand entier n tel que n ≤ x.

Cela peut aussi s'exprimer par une inégalité : n ≤ x < n + 1, où n = ⌊x⌋.

En termes simples, cela signifie que si un nombre a une partie fractionnaire, vous descendez vers l'entier le plus proche en dessous de lui sur la droite numérique. S'il est déjà un entier exact, il ne change pas.

La notation standard pour la fonction plancher utilise des crochets spéciaux auxquels il manque les barres horizontales supérieures : ⌊x⌋.

• Crochets de plancher : ⌊x⌋ (Crochets sans la partie supérieure, ressemblant visuellement à un "plancher").
• Crochets de plafond : ⌈x⌉ (Crochets sans la partie inférieure, ressemblant visuellement à un "plafond").

Ne confondez pas les crochets de plancher avec les parenthèses ordinaires (x) ou les crochets standard [x], car ceux-ci ont des significations mathématiques différentes.

L'application de la fonction plancher suit une règle directionnelle claire sur la droite numérique :

Exemples

Nombres positifs :

• ⌊2.1⌋ = 2
• ⌊2.9⌋ = 2
• ⌊7.01⌋ = 7

Entiers :

• ⌊4⌋ = 4

Nombres négatifs :

• ⌊−2.1⌋ = −3
• ⌊−2.9⌋ = −3

L'infini négatif est une direction sur la droite numérique, se déplaçant toujours vers la gauche. Lorsque la fonction plancher est appliquée à une valeur non entière, elle pousse la valeur strictement dans cette direction vers la gauche.

Pour les valeurs positives, se déplacer vers la gauche signifie diminuer la magnitude :

• 2.1 → 2
• 2.9 → 2

Pour les valeurs négatives, se déplacer vers la gauche signifie s'éloigner de zéro (augmenter la magnitude dans la direction négative) :

• −2.1 → −3
• −2.9 → −3

Ne considérez pas simplement la fonction plancher comme un "arrondi à l'inférieur" sans savoir ce que "inférieur" signifie. En mathématiques, "vers le bas" ou "inférieur" signifie "vers l'infini négatif", et non "vers zéro".

Les nombres négatifs causent souvent de la confusion avec la fonction plancher. Une erreur fréquente est de supposer que ⌊−2.1⌋ vaut −2. Cependant, ⌊−2.1⌋ = −3.

Pourquoi ? Parce que la règle est de trouver le plus grand entier inférieur ou égal à l'entrée.

Sur une droite numérique, −3 est inférieur à −2.1, mais −2 est supérieur à −2.1. Puisque la fonction plancher requiert un entier inférieur ou égal à l'entrée, elle doit aller à −3 :

Autres exemples :

• ⌊−2.9⌋ = −3
• ⌊−3⌋ = −3

Lorsque l'entrée est déjà un entier exact, la fonction plancher laisse la valeur complètement inchangée.

• ⌊1⌋ = 1
• ⌊0⌋ = 0
• ⌊−1⌋ = −1
• ⌊10⌋ = 10

Pour les nombres décimaux et les fractions, la fonction plancher supprime effectivement la partie fractionnaire pour les nombres positifs, mais pour les nombres négatifs, elle descend à l'entier inférieur suivant.

Fractions :

• ⌊7/3⌋ = 2
• ⌊11/4⌋ = 2
• ⌊−7/3⌋ = −3
• ⌊−11/4⌋ = −3

Décimales positives :

• ⌊1.1⌋ = 1
• ⌊1.5⌋ = 1
• ⌊1.99⌋ = 1
• ⌊3.001⌋ = 3

Décimales négatives :

• ⌊−1.1⌋ = −2
• ⌊−1.99⌋ = −2
• ⌊−3.001⌋ = −4

Parfois, vous devez appliquer la fonction plancher à un nombre spécifique de décimales (par exemple, plancher à 2 décimales). Cela se fait en utilisant une méthode de mise à l'échelle : multipliez par une puissance de 10, appliquez la fonction plancher, et divisez à nouveau.

• Plancher de 2.349 à 2 décimales : ⌊2.349 × 100⌋ / 100 = ⌊234.9⌋ / 100 = 234 / 100 = 2.34
• Plancher de 2.341 à 1 décimale : ⌊2.341 × 10⌋ / 10 = ⌊23.41⌋ / 10 = 23 / 10 = 2.3
• Plancher de 7.999 à 2 décimales : 7.99

Pour les nombres négatifs, la valeur se déplace toujours vers l'infini négatif :

• Plancher de −2.341 à 2 décimales : ⌊−2.341 × 100⌋ / 100 = ⌊−234.1⌋ / 100 = −235 / 100 = −2.35

La fonction plafond est l'exact opposé de la fonction plancher. La fonction plancher se déplace toujours vers l'infini négatif, tandis que la fonction plafond se déplace toujours vers l'infini positif.

L'arrondi au plus proche (Arrondi de moitié au supérieur) sélectionne l'entier le plus proche. La fonction plancher ne se soucie pas de l'entier le plus proche ; elle sélectionne toujours le plus grand entier inférieur ou égal à l'entrée.

• 2.3 : Plancher → 2 | Arrondi au plus proche → 2
• 2.7 : Plancher → 2 | Arrondi au plus proche → 3
• −2.3 : Plancher → −3 | Arrondi au plus proche → −2
• −2.7 : Plancher → −3 | Arrondi au plus proche → −3

La fonction partie entière extrait simplement les chiffres entiers d'un nombre, en supprimant la décimale. Cela déplace la valeur strictement vers zéro, ce qui crée une différence critique pour les nombres négatifs.

• 2.7 : Plancher = 2 | Partie entière = 2
• −2.7 : Plancher = −3 | Partie entière = −2

Cela renforce la distinction que le plancher est une opération directionnelle (vers l'infini négatif), et non une simple troncature.

La troncature coupe (supprime) simplement la partie fractionnaire d'un nombre, déplaçant la valeur strictement vers zéro. Le plancher se déplace vers l'infini négatif. Cette différence devient importante avec les nombres négatifs.

• 2.8 : Plancher → 2 | Tronquer → 2
• −2.8 : Plancher → −3 | Tronquer → −2

Le terme "arrondir à l'inférieur" peut être ambigu. Dans la terminologie mathématique stricte, "arrondir à l'inférieur" est généralement synonyme de la fonction plancher (se déplaçant vers l'infini négatif). Cependant, dans certains contextes financiers, "arrondir à l'inférieur" signifie troncature (se déplaçant vers zéro).

Par exemple, avec −2.7, le plancher donne −3, mais la troncature donne −2.

Le graphique de la fonction plancher, y = ⌊x⌋, est un graphique en forme d'escalier (également connu sous le nom de fonction en escalier). Il reste parfaitement plat pour toutes les valeurs entre les entiers, puis saute à chaque entier.

Pour chaque entier n où n ≤ x < n + 1, la valeur du plancher est exactement n.

• Pour 0 ≤ x < 1, ⌊x⌋ = 0
• Pour 1 ≤ x < 2, ⌊x⌋ = 1
• Pour −1 ≤ x < 0, ⌊x⌋ = −1

Sur le graphique, l'extrémité gauche de chaque marche horizontale est un cercle fermé (signifiant qu'il inclut l'entier), et l'extrémité droite est un cercle ouvert (signifiant qu'il n'inclut pas l'entier suivant).

La fonction plancher est formellement définie en notation ensembliste comme suit :

En langage simple, cette formule dit : "Regardez l'ensemble de tous les entiers (ℤ) qui sont inférieurs ou égaux à x, et choisissez la valeur maximale (max) de cet ensemble."

• Identité pour les entiers : ⌊x⌋ = x lorsque x est un entier.
• Limites : x − 1 < ⌊x⌋ ≤ x pour x non entier.
• Symétrie avec le plafond : ⌊x⌋ = −⌈−x⌉.
• Addition d'un entier : ⌊x + n⌋ = ⌊x⌋ + n pour tout entier n.

La fonction plancher a une importance massive dans les scénarios du monde réel, en particulier lorsque des éléments partiels ne peuvent pas être comptés ou utilisés.

• Unités complètes : Si vous avez 29 éléments et que chaque groupe complet nécessite 10 éléments, le nombre de groupes complètement remplis est ⌊29 / 10⌋ = 2.
• Informatique : Trouver des index de tableau, convertir des coordonnées à virgule flottante en coordonnées de pixels sur un écran.
• Allocation de ressources : Déterminer combien d'heures complètes d'un service vous pouvez vous permettre avec un budget donné.
• Traitement de données : Regrouper des données dans des intervalles de temps spécifiques (par exemple, regrouper des journaux par heure).

Fonction plancher en Python

Fonction plancher en JavaScript

Fonction plancher en Java

Fonction plancher en C#

Fonction plancher dans Excel

Excel dispose de plusieurs fonctions plancher. FLOOR.MATH(nombre, précision, mode) est la plus robuste, arrondissant toujours vers l'infini négatif par défaut. FLOOR(nombre, précision) peut renvoyer une erreur sur les nombres négatifs si les signes ne correspondent pas.

Au-delà de l'arithmétique de base, la fonction plancher est largement utilisée dans les mathématiques avancées :

• Théorie des nombres : Utilisée dans des formules impliquant des nombres premiers et la divisibilité.
• Arithmétique modulaire : L'opération modulo est souvent définie comme a mod n = a − n × ⌊a / n⌋.
• Mathématiques discrètes : Transformation de fonctions à domaine continu en fonctions discrètes à valeurs entières.

• Confondre le plancher avec la troncature : La troncature coupe la décimale (se déplaçant vers zéro). Le plancher se déplace vers l'infini négatif. Correction : Pour les nombres négatifs, le plancher augmente la magnitude, la troncature la diminue.
• Oublier que les nombres négatifs se déplacent vers l'infini négatif : Beaucoup croient à tort que ⌊−2.7⌋ est −2. Correction : C'est −3.
• Confondre le plancher avec le plafond : Correction : Le plancher va vers la gauche sur la droite numérique ; le plafond va vers la droite.
• Utiliser le plancher lorsque l'arrondi au plus proche est nécessaire : Le plancher ignore l'entier le plus proche. Correction : Si vous avez besoin de la valeur la plus proche de 2.9, utilisez l'arrondi au plus proche pour obtenir 3, pas le plancher.

La fonction plancher renvoie le plus grand entier inférieur ou égal à l'entrée.

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