Подова функция

Функцията floor (⌊x⌋) връща най-голямото цяло число, което е по-малко или равно на дадено число.

Математическата дефиниция на функцията floor гласи, че ⌊x⌋ е най-голямото цяло число n, такова че n ≤ x.

Това може да се изрази и като неравенство: n ≤ x < n + 1, където n = ⌊x⌋.

С прости думи, това означава, че ако едно число има някаква дробна част, вие се придвижвате надолу до най-близкото цяло число под него на числовата ос. Ако то вече е точно цяло число, то не се променя.

Стандартната нотация за функцията floor използва специални скоби, на които липсват горните хоризонтални черти: ⌊x⌋.

• Скоби за floor: ⌊x⌋ (Квадратни скоби без горната част, визуално приличащи на "под").
• Скоби за ceiling: ⌈x⌉ (Квадратни скоби без долната част, визуално приличащи на "таван").

Не бъркайте скобите за floor с обикновените кръгли скоби (x) или стандартните квадратни скоби [x], тъй като те имат различни математически значения.

Прилагането на функцията floor следва ясно правило за посока на числовата ос:

Примери

Положителни числа:

• ⌊2.1⌋ = 2
• ⌊2.9⌋ = 2
• ⌊7.01⌋ = 7

Цели числа:

• ⌊4⌋ = 4

Отрицателни числа:

• ⌊−2.1⌋ = −3
• ⌊−2.9⌋ = −3

Минус безкрайност е посока на числовата ос, винаги движеща се наляво. Когато функцията floor се приложи към която и да е нецяла стойност, тя изтласква стойността строго в тази лява посока.

За положителни стойности, движението наляво означава намаляване на големината:

• 2.1 → 2
• 2.9 → 2

За отрицателни стойности, движението наляво означава отдалечаване от нулата (увеличаване на големината в отрицателна посока):

• −2.1 → −3
• −2.9 → −3

Не мислете за функцията floor просто като за "закръгляне надолу", без да знаете какво означава "надолу". В математиката "надолу" означава "към минус безкрайност", а не "към нулата."

Отрицателните числа често предизвикват объркване с функцията floor. Често срещана грешка е да се приеме, че ⌊−2.1⌋ е равно на −2. Въпреки това, ⌊−2.1⌋ = −3.

Защо? Защото правилото е да се намери най-голямото цяло число по-малко или равно на въведеното.

На числовата ос −3 е по-малко от −2.1, но −2 е по-голямо от −2.1. Тъй като функцията floor изисква цяло число, по-малко или равно на въведеното, тя трябва да се премести към −3:

Други примери:

• ⌊−2.9⌋ = −3
• ⌊−3⌋ = −3

Когато въведеното число вече е точно цяло число, функцията floor оставя стойността напълно непроменена.

• ⌊1⌋ = 1
• ⌊0⌋ = 0
• ⌊−1⌋ = −1
• ⌊10⌋ = 10

За десетични числа и дроби функцията floor ефективно премахва дробната част за положителни числа, но за отрицателни числа тя спада към следващото по-малко цяло число.

Дроби:

• ⌊7/3⌋ = 2
• ⌊11/4⌋ = 2
• ⌊−7/3⌋ = −3
• ⌊−11/4⌋ = −3

Положителни десетични числа:

• ⌊1.1⌋ = 1
• ⌊1.5⌋ = 1
• ⌊1.99⌋ = 1
• ⌊3.001⌋ = 3

Отрицателни десетични числа:

• ⌊−1.1⌋ = −2
• ⌊−1.99⌋ = −2
• ⌊−3.001⌋ = −4

Понякога трябва да приложите функцията floor до определен брой десетични знаци (напр. floor до 2 десетични знака). Това се прави чрез метод на мащабиране: умножаване по степен на 10, прилагане на функцията floor и разделяне обратно.

• Floor на 2.349 до 2 десетични знака: ⌊2.349 × 100⌋ / 100 = ⌊234.9⌋ / 100 = 234 / 100 = 2.34
• Floor на 2.341 до 1 десетичен знак: ⌊2.341 × 10⌋ / 10 = ⌊23.41⌋ / 10 = 23 / 10 = 2.3
• Floor на 7.999 до 2 десетични знака: 7.99

За отрицателни числа стойността все още се движи към минус безкрайност:

• Floor на −2.341 до 2 десетични знака: ⌊−2.341 × 100⌋ / 100 = ⌊−234.1⌋ / 100 = −235 / 100 = −2.35

Функцията ceiling е пълната противоположност на функцията floor. Функцията floor винаги се движи към минус безкрайност, докато функцията ceiling винаги се движи към плюс безкрайност.

Закръглянето до най-близкото (Round Half Up) избира най-близкото цяло число. Функцията floor не се интересува кое цяло число е по-близо; тя винаги избира най-голямото цяло число, по-малко или равно на въведеното.

• 2.3: Floor → 2 | Закръгляне до най-близко → 2
• 2.7: Floor → 2 | Закръгляне до най-близко → 3
• −2.3: Floor → −3 | Закръгляне до най-близко → −2
• −2.7: Floor → −3 | Закръгляне до най-близко → −3

Функцията за цяла част просто извлича целите цифри на число, премахвайки десетичната част. Това движи стойността строго към нулата, което създава критична разлика за отрицателните числа.

• 2.7: Floor = 2 | Цяла част = 2
• −2.7: Floor = −3 | Цяла част = −2

Това затвърждава разграничението, че floor е насочена операция (към минус безкрайност), а не просто отрязване.

Отрязването просто отрязва (премахва) дробната част на число, движейки стойността строго към нулата. Floor се движи към минус безкрайност. Тази разлика става важна при отрицателните числа.

• 2.8: Floor → 2 | Отрязване → 2
• −2.8: Floor → −3 | Отрязване → −2

Терминът "закръгляне надолу" може да бъде двусмислен. В строгата математическа терминология "закръгляне надолу" обикновено е синоним на функцията floor (движение към минус безкрайност). Въпреки това, в някои финансови контексти, "закръгляне надолу" означава отрязване (движение към нулата).

Например, при −2.7, floor дава −3, но отрязването дава −2.

Графиката на функцията floor, y = ⌊x⌋, е стъпаловидна графика (известна още като стъпаловидна функция). Тя остава идеално плоска за всички стойности между цели числа и след това скача нагоре при всяко цяло число.

За всяко цяло число n, където n ≤ x < n + 1, стойността на floor е точно n.

• За 0 ≤ x < 1, ⌊x⌋ = 0
• За 1 ≤ x < 2, ⌊x⌋ = 1
• За −1 ≤ x < 0, ⌊x⌋ = −1

На графиката, левият край на всяко хоризонтално стъпало е затворен кръг (което означава, че включва цялото число), а десният край е отворен кръг (което означава, че не включва следващото цяло число).

Функцията floor е официално дефинирана в нотация за множества като:

На прост език тази формула гласи: "Погледнете множеството от всички цели числа (ℤ), които са по-малки или равни на x, и изберете максималната (max) стойност от това множество."

• Идентичност за цели числа: ⌊x⌋ = x, когато x е цяло число.
• Граници: x − 1 < ⌊x⌋ ≤ x за нецяло x.
• Симетрия със ceiling: ⌊x⌋ = −⌈−x⌉.
• Добавяне на цяло число: ⌊x + n⌋ = ⌊x⌋ + n за всяко цяло число n.

Функцията floor има огромно значение в реални сценарии, особено когато частични елементи не могат да бъдат преброени или използвани.

• Завършени единици: Ако имате 29 елемента и всяка пълна група изисква 10 елемента, броят на напълно запълнените групи е ⌊29 / 10⌋ = 2.
• Компютърни науки: Намиране на индекси на масиви, преобразуване на координати с плаваща запетая в пикселни координати на екран.
• Разпределение на ресурси: Определяне на колко пълни часа услуга можете да си позволите с даден бюджет.
• Обработка на данни: Групиране на данни в специфични времеви интервали (напр. групиране на логове по час).

Функция floor в Python

Функция floor в JavaScript

Функция floor в Java

Функция floor в C#

Функция floor в Excel

Excel има множество функции floor. FLOOR.MATH(number, significance, mode) е най-надеждната, като по подразбиране винаги закръглява към минус безкрайност. FLOOR(number, significance) може да даде грешка при отрицателни числа, ако знаците не съвпадат.

Освен в основната аритметика, функцията floor се използва широко във висшата математика:

• Теория на числата: Използва се във формули, включващи прости числа и делимост.
• Модулна аритметика: Операцията модул често се дефинира като a mod n = a − n × ⌊a / n⌋.
• Дискретна математика: Трансформиране на функции с непрекъсната дефиниционна област в дискретни функции с целочислени стойности.

• Бъркане на floor с отрязване: Отрязването премахва десетичната част (движение към нулата). Floor се движи към минус безкрайност. Корекция: За отрицателни числа, floor прави големината по-голяма, отрязването я прави по-малка.
• Забравяне, че отрицателните числа се движат към минус безкрайност: Мнозина погрешно вярват, че ⌊−2.7⌋ е −2. Корекция: То е −3.
• Бъркане на floor със ceiling: Корекция: Floor отива наляво по числовата ос; ceiling отива надясно.
• Използване на floor, когато е необходимо закръгляне до най-близкото: Floor игнорира най-близкото цяло число. Корекция: Ако ви трябва най-близката стойност до 2.9, използвайте закръгляне до най-близкото, за да получите 3, а не floor.

Функцията floor връща най-голямото цяло число, по-малко или равно на въведеното.

Тествайте разбирането си за функцията floor с тези примери. Кликнете върху въпрос, за да разкриете отговора.