Fungsi Lantai

Fungsi lantai (⌊x⌋) mengembalikan integer terbesar yang kurang daripada atau sama dengan nombor yang diberikan.

Definisi matematik bagi fungsi lantai menyatakan bahawa ⌊x⌋ ialah integer terbesar n sedemikian rupa sehingga n ≤ x.

Ini juga boleh dinyatakan sebagai ketaksamaan: n ≤ x < n + 1, di mana n = ⌊x⌋.

Secara mudah, ini bermakna jika nombor mempunyai sebarang bahagian pecahan, anda bergerak ke bawah ke integer terdekat di bawahnya pada garis nombor. Jika ia sudah menjadi integer yang tepat, ia tidak berubah.

Notasi standard untuk fungsi lantai menggunakan kurungan khas yang tiada palang mendatar di bahagian atas: ⌊x⌋.

• Kurungan lantai: ⌊x⌋ (Kurungan persegi tanpa bahagian atas, secara visual menyerupai "lantai").
• Kurungan siling: ⌈x⌉ (Kurungan persegi tanpa bahagian bawah, secara visual menyerupai "siling").

Jangan terkeliru kurungan lantai dengan kurungan biasa (x) atau kurungan persegi standard [x], kerana ia mempunyai makna matematik yang berbeza.

Menerapkan fungsi lantai mengikuti peraturan berarah yang jelas pada garis nombor:

Contoh

Nombor Positif:

• ⌊2.1⌋ = 2
• ⌊2.9⌋ = 2
• ⌊7.01⌋ = 7

Integer:

• ⌊4⌋ = 4

Nombor Negatif:

• ⌊−2.1⌋ = −3
• ⌊−2.9⌋ = −3

Infiniti negatif ialah arah pada garis nombor, sentiasa bergerak ke kiri. Apabila fungsi lantai digunakan pada sebarang nilai bukan integer, ia menolak nilai tersebut dengan ketat ke arah kiri itu.

Untuk nilai positif, bergerak ke kiri bermakna mengurangkan magnitud:

• 2.1 → 2
• 2.9 → 2

Untuk nilai negatif, bergerak ke kiri bermakna bergerak lebih jauh dari sifar (meningkatkan magnitud dalam arah negatif):

• −2.1 → −3
• −2.9 → −3

Jangan hanya berfikir tentang fungsi lantai sebagai "membundar ke bawah" tanpa mengetahui maksud "ke bawah". Dalam matematik, "ke bawah" bermaksud "ke arah infiniti negatif", bukan "ke arah sifar."

Nombor negatif sering menyebabkan kekeliruan dengan fungsi lantai. Kesilapan yang kerap berlaku ialah menganggap ⌊−2.1⌋ bersamaan −2. Walau bagaimanapun, ⌊−2.1⌋ = −3.

Kenapa? Kerana aturannya adalah untuk mencari integer terbesar yang kurang daripada atau sama dengan input.

Pada garis nombor, −3 adalah kurang daripada −2.1, tetapi −2 adalah lebih besar daripada −2.1. Memandangkan fungsi lantai memerlukan integer yang kurang daripada atau sama dengan input, ia mesti beralih ke −3:

Contoh lain:

• ⌊−2.9⌋ = −3
• ⌊−3⌋ = −3

Apabila input sudah merupakan integer yang tepat, fungsi lantai membiarkan nilainya tidak berubah langsung.

• ⌊1⌋ = 1
• ⌊0⌋ = 0
• ⌊−1⌋ = −1
• ⌊10⌋ = 10

Untuk nombor perpuluhan dan pecahan, fungsi lantai secara berkesan membuang bahagian pecahan untuk nombor positif, tetapi untuk nombor negatif, ia turun ke integer seterusnya yang lebih rendah.

Pecahan:

• ⌊7/3⌋ = 2
• ⌊11/4⌋ = 2
• ⌊−7/3⌋ = −3
• ⌊−11/4⌋ = −3

Perpuluhan Positif:

• ⌊1.1⌋ = 1
• ⌊1.5⌋ = 1
• ⌊1.99⌋ = 1
• ⌊3.001⌋ = 3

Perpuluhan Negatif:

• ⌊−1.1⌋ = −2
• ⌊−1.99⌋ = −2
• ⌊−3.001⌋ = −4

Kadangkala anda perlu menerapkan fungsi lantai kepada bilangan tempat perpuluhan yang tertentu (cth., lantai kepada 2 tempat perpuluhan). Ini dilakukan dengan menggunakan kaedah penskalaan: darab dengan kuasa 10, terapkan fungsi lantai, dan bahagi semula.

• Lantai 2.349 kepada 2 tempat perpuluhan: ⌊2.349 × 100⌋ / 100 = ⌊234.9⌋ / 100 = 234 / 100 = 2.34
• Lantai 2.341 kepada 1 tempat perpuluhan: ⌊2.341 × 10⌋ / 10 = ⌊23.41⌋ / 10 = 23 / 10 = 2.3
• Lantai 7.999 kepada 2 tempat perpuluhan: 7.99

Untuk nombor negatif, nilai tersebut masih bergerak ke arah infiniti negatif:

• Lantai −2.341 kepada 2 tempat perpuluhan: ⌊−2.341 × 100⌋ / 100 = ⌊−234.1⌋ / 100 = −235 / 100 = −2.35

Fungsi siling ialah lawan yang tepat bagi fungsi lantai. Fungsi lantai sentiasa bergerak ke arah infiniti negatif, manakala fungsi siling sentiasa bergerak ke arah infiniti positif.

Pembundaran terdekat (Bundar Separuh ke Atas) memilih integer terdekat. Fungsi lantai tidak peduli integer mana yang lebih dekat; ia sentiasa memilih integer terbesar yang kurang daripada atau sama dengan input.

• 2.3: Lantai → 2 | Pembundaran terdekat → 2
• 2.7: Lantai → 2 | Pembundaran terdekat → 3
• −2.3: Lantai → −3 | Pembundaran terdekat → −2
• −2.7: Lantai → −3 | Pembundaran terdekat → −3

Fungsi bahagian integer hanya mengekstrak digit integer sesuatu nombor, membuang perpuluhannya. Ini menggerakkan nilai secara ketat ke arah sifar, yang menghasilkan perbezaan kritikal untuk nombor negatif.

• 2.7: Lantai = 2 | Bahagian integer = 2
• −2.7: Lantai = −3 | Bahagian integer = −2

Ini mengukuhkan perbezaan bahawa lantai ialah operasi berarah (ke arah infiniti negatif), bukan sekadar pemangkasan mudah.

Pemangkasan hanya memotong (membuang) bahagian pecahan sesuatu nombor, menggerakkan nilai secara ketat ke arah sifar. Lantai bergerak ke arah infiniti negatif. Perbezaan ini menjadi penting dengan nombor negatif.

• 2.8: Lantai → 2 | Pangkas → 2
• −2.8: Lantai → −3 | Pangkas → −2

Istilah "bundar ke bawah" boleh menjadi samar-samar. Dalam istilah matematik yang ketat, "bundar ke bawah" biasanya sinonim dengan fungsi lantai (bergerak ke arah infiniti negatif). Walau bagaimanapun, dalam sesetengah konteks kewangan, "bundar ke bawah" bermaksud pemangkasan (bergerak ke arah sifar).

Sebagai contoh, dengan −2.7, lantai menghasilkan −3, tetapi pemangkasan menghasilkan −2.

Graf fungsi lantai, y = ⌊x⌋, ialah graf berbentuk langkah (juga dikenali sebagai fungsi langkah). Ia kekal mendatar dengan sempurna untuk semua nilai antara integer, dan kemudian melompat ke atas pada setiap integer.

Untuk setiap integer n di mana n ≤ x < n + 1, nilai lantai ialah tepat n.

• Untuk 0 ≤ x < 1, ⌊x⌋ = 0
• Untuk 1 ≤ x < 2, ⌊x⌋ = 1
• Untuk −1 ≤ x < 0, ⌊x⌋ = −1

Pada graf, hujung kiri setiap langkah mendatar adalah bulatan tertutup (bermakna ia termasuk integer tersebut), dan hujung kanan adalah bulatan terbuka (bermakna ia tidak termasuk integer seterusnya).

Fungsi lantai ditakrifkan secara rasmi dalam notasi set sebagai:

Dalam bahasa yang mudah, formula ini bermaksud: "Lihat pada set semua integer (ℤ) yang kurang daripada atau sama dengan x, dan pilih nilai maksimum (max) daripada set itu."

• Identiti untuk integer: ⌊x⌋ = x apabila x adalah integer.
• Had: x − 1 < ⌊x⌋ ≤ x untuk x bukan integer.
• Simetri dengan siling: ⌊x⌋ = −⌈−x⌉.
• Penambahan integer: ⌊x + n⌋ = ⌊x⌋ + n untuk sebarang integer n.

Fungsi lantai mempunyai kepentingan yang besar dalam senario dunia sebenar, terutamanya apabila item separa tidak boleh dikira atau digunakan.

• Unit lengkap: Jika anda mempunyai 29 item dan setiap kumpulan lengkap memerlukan 10 item, bilangan kumpulan yang terisi penuh ialah ⌊29 / 10⌋ = 2.
• Sains komputer: Mencari indeks tatasusunan, menukar koordinat titik apung kepada koordinat piksel pada skrin.
• Peruntukan sumber: Menentukan berapa jam penuh perkhidmatan yang anda mampu dengan bajet yang diberikan.
• Pemprosesan data: Mengumpulkan data ke dalam tong masa tertentu (cth., mengumpulkan log mengikut jam).

Fungsi Lantai dalam Python

Fungsi Lantai dalam JavaScript

Fungsi Lantai dalam Java

Fungsi Lantai dalam C#

Fungsi Lantai dalam Excel

Excel mempunyai pelbagai fungsi lantai. FLOOR.MATH(number, significance, mode) adalah yang paling mantap, sentiasa membundarkan ke arah infiniti negatif secara lalai. FLOOR(number, significance) boleh memberikan ralat pada nombor negatif jika tanda tidak sepadan.

Di luar aritmetik asas, fungsi lantai banyak digunakan dalam matematik lanjutan:

• Teori nombor: Digunakan dalam formula yang melibatkan nombor perdana dan kebolehbahagian.
• Aritmetik modular: Operasi modulo selalunya ditakrifkan sebagai a mod n = a − n × ⌊a / n⌋.
• Matematik diskret: Mengubah fungsi domain berterusan kepada fungsi bernilai integer yang diskret.

• Terkeliru lantai dengan pemangkasan: Pemangkasan memotong perpuluhan (bergerak ke arah sifar). Lantai bergerak ke arah infiniti negatif. Pembetulan: Untuk nombor negatif, lantai menjadikan magnitud lebih besar, pemangkasan menjadikannya lebih kecil.
• Terlupa nombor negatif bergerak ke arah infiniti negatif: Ramai yang keliru percaya ⌊−2.7⌋ ialah −2. Pembetulan: Ia ialah −3.
• Terkeliru lantai dengan siling: Pembetulan: Lantai pergi ke kiri pada garis nombor; siling pergi ke kanan.
• Menggunakan lantai apabila pembundaran terdekat diperlukan: Lantai mengabaikan integer terdekat. Pembetulan: Jika anda memerlukan nilai terdekat dengan 2.9, gunakan pembundaran terdekat untuk mendapatkan 3, bukan lantai.

Fungsi lantai mengembalikan integer terbesar yang kurang daripada atau sama dengan input.

Uji kefahaman anda tentang fungsi lantai dengan contoh-contoh ini. Klik pada soalan untuk mendedahkan jawapan.