মেঝে ফাংশন

ফ্লোর ফাংশন (⌊x⌋) প্রদত্ত সংখ্যার চেয়ে ছোট বা সমান সবচেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যা প্রদান করে।

ফ্লোর ফাংশনের গাণিতিক সংজ্ঞা বলে যে ⌊x⌋ হল সবচেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যা n যাতে n ≤ x হয়।

এটি একটি অসমতা হিসাবেও প্রকাশ করা যেতে পারে: n ≤ x < n + 1, যেখানে n = ⌊x⌋।

সহজ কথায়, এর অর্থ হল যদি কোনও সংখ্যার কোনও ভগ্নাংশ থাকে, তবে আপনি সংখ্যারেখায় এর নীচের নিকটতম পূর্ণসংখ্যায় চলে যান। যদি এটি ইতিমধ্যেই একটি সঠিক পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে এটি পরিবর্তিত হয় না।

ফ্লোর ফাংশনের স্ট্যান্ডার্ড নোটেশনে বিশেষ বন্ধনী ব্যবহার করা হয় যেগুলোর উপরের অনুভূমিক বারগুলো অনুপস্থিত: ⌊x⌋।

• ফ্লোর ব্র্যাকেট: ⌊x⌋ (বর্গাকার বন্ধনী যার উপরের অংশ অনুপস্থিত, দৃশ্যত একটি "ফ্লোর" বা মেঝের মতো)।
• সিলিং ব্র্যাকেট: ⌈x⌉ (বর্গাকার বন্ধনী যার নীচের অংশ অনুপস্থিত, দৃশ্যত একটি "সিলিং" বা ছাদের মতো)।

ফ্লোর ব্র্যাকেটকে সাধারণ বন্ধনী (x) বা স্ট্যান্ডার্ড বর্গাকার বন্ধনী [x]-এর সাথে বিভ্রান্ত করবেন না, কারণ সেগুলোর ভিন্ন গাণিতিক অর্থ রয়েছে।

ফ্লোর ফাংশন প্রয়োগ করা সংখ্যারেখায় একটি পরিষ্কার দিকনির্দেশক নিয়ম অনুসরণ করে:

উদাহরণ

ধনাত্মক সংখ্যা:

• ⌊2.1⌋ = 2
• ⌊2.9⌋ = 2
• ⌊7.01⌋ = 7

পূর্ণসংখ্যা:

• ⌊4⌋ = 4

ঋণাত্মক সংখ্যা:

• ⌊−2.1⌋ = −3
• ⌊−2.9⌋ = −3

ঋণাত্মক অসীম হল সংখ্যারেখার একটি দিক, যা সর্বদা বাম দিকে যায়। যখন ফ্লোর ফাংশন কোনও অপূর্ণসংখ্যা মানের উপর প্রয়োগ করা হয়, তখন এটি মানটিকে কঠোরভাবে সেই বাম দিকে ঠেলে দেয়।

ধনাত্মক মানের জন্য, বাম দিকে যাওয়ার অর্থ হল মান হ্রাস করা:

• 2.1 → 2
• 2.9 → 2

ঋণাত্মক মানের জন্য, বাম দিকে যাওয়ার অর্থ হল শূন্য থেকে আরও দূরে সরে যাওয়া (ঋণাত্মক দিকে মান বৃদ্ধি করা):

• −2.1 → −3
• −2.9 → −3

"নীচে" বলতে কী বোঝায় তা না জেনে কেবল "রাউন্ডিং ডাউন" বা নিচে রাউন্ড করা হিসাবে ফ্লোর ফাংশনের কথা ভাববেন না। গণিতে, "নীচে" মানে "ঋণাত্মক অসীমের দিকে", "শূন্যের দিকে" নয়।

ঋণাত্মক সংখ্যা সাধারণত ফ্লোর ফাংশনের সাথে বিভ্রান্তির কারণ হয়। একটি সাধারণ ভুল হল অনুমান করা যে ⌊−2.1⌋ এর মান −2। যাইহোক, ⌊−2.1⌋ = −3।

কেন? কারণ নিয়ম হল ইনপুটের চেয়ে ছোট বা সমান সবচেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যা খুঁজে বের করা।

একটি সংখ্যারেখায়, −3 হল −2.1 এর চেয়ে ছোট, কিন্তু −2 হল −2.1 এর চেয়ে বড়। যেহেতু ফ্লোর ফাংশনের জন্য ইনপুটের চেয়ে ছোট বা সমান একটি পূর্ণসংখ্যা প্রয়োজন, তাই এটি অবশ্যই −3 এ চলে যাবে:

অন্যান্য উদাহরণ:

• ⌊−2.9⌋ = −3
• ⌊−3⌋ = −3

যখন ইনপুটটি ইতিমধ্যেই একটি সঠিক পূর্ণসংখ্যা হয়, তখন ফ্লোর ফাংশন মানটিকে সম্পূর্ণ অপরিবর্তিত রাখে।

• ⌊1⌋ = 1
• ⌊0⌋ = 0
• ⌊−1⌋ = −1
• ⌊10⌋ = 10

দশমিক সংখ্যা এবং ভগ্নাংশের জন্য, ফ্লোর ফাংশন কার্যকরভাবে ধনাত্মক সংখ্যার জন্য ভগ্নাংশ অংশটি সরিয়ে দেয়, কিন্তু ঋণাত্মক সংখ্যার জন্য, এটি পরবর্তী নীচের পূর্ণসংখ্যায় নেমে যায়।

ভগ্নাংশ:

• ⌊7/3⌋ = 2
• ⌊11/4⌋ = 2
• ⌊−7/3⌋ = −3
• ⌊−11/4⌋ = −3

ধনাত্মক দশমিক:

• ⌊1.1⌋ = 1
• ⌊1.5⌋ = 1
• ⌊1.99⌋ = 1
• ⌊3.001⌋ = 3

ঋণাত্মক দশমিক:

• ⌊−1.1⌋ = −2
• ⌊−1.99⌋ = −2
• ⌊−3.001⌋ = −4

কখনও কখনও আপনাকে নির্দিষ্ট সংখ্যক দশমিক স্থানে ফ্লোর ফাংশন প্রয়োগ করতে হবে (যেমন, ২ দশমিক স্থান পর্যন্ত ফ্লোর)। এটি একটি স্কেলিং পদ্ধতি ব্যবহার করে করা হয়: 10 এর ঘাত দিয়ে গুণ করুন, ফ্লোর ফাংশন প্রয়োগ করুন এবং আবার ভাগ করুন।

• 2.349 কে 2 দশমিক স্থানে ফ্লোর করুন: ⌊2.349 × 100⌋ / 100 = ⌊234.9⌋ / 100 = 234 / 100 = 2.34
• 2.341 কে 1 দশমিক স্থানে ফ্লোর করুন: ⌊2.341 × 10⌋ / 10 = ⌊23.41⌋ / 10 = 23 / 10 = 2.3
• 7.999 কে 2 দশমিক স্থানে ফ্লোর করুন: 7.99

ঋণাত্মক সংখ্যার ক্ষেত্রে, মানটি এখনও ঋণাত্মক অসীমের দিকে যায়:

• −2.341 কে 2 দশমিক স্থানে ফ্লোর করুন: ⌊−2.341 × 100⌋ / 100 = ⌊−234.1⌋ / 100 = −235 / 100 = −2.35

সিলিং ফাংশন হল ফ্লোর ফাংশনের ঠিক বিপরীত। ফ্লোর ফাংশন সর্বদা ঋণাত্মক অসীমের দিকে যায়, যেখানে সিলিং ফাংশন সর্বদা ধনাত্মক অসীমের দিকে যায়।

নিকটতম রাউন্ডিং (Round Half Up) নিকটতম পূর্ণসংখ্যা নির্বাচন করে। ফ্লোর ফাংশন চিন্তা করে না যে কোন পূর্ণসংখ্যাটি কাছাকাছি; এটি সর্বদা ইনপুটের চেয়ে ছোট বা সমান সবচেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যা নির্বাচন করে।

• 2.3: ফ্লোর → 2 | নিকটতম রাউন্ডিং → 2
• 2.7: ফ্লোর → 2 | নিকটতম রাউন্ডিং → 3
• −2.3: ফ্লোর → −3 | নিকটতম রাউন্ডিং → −2
• −2.7: ফ্লোর → −3 | নিকটতম রাউন্ডিং → −3

পূর্ণসংখ্যা অংশ ফাংশনটি কেবল একটি সংখ্যার পূর্ণসংখ্যা অঙ্কগুলো বের করে, দশমিক সরিয়ে দেয়। এটি মানটিকে কঠোরভাবে শূন্যের দিকে নিয়ে যায়, যা ঋণাত্মক সংখ্যার জন্য একটি বড় পার্থক্য তৈরি করে।

• 2.7: ফ্লোর = 2 | পূর্ণসংখ্যা অংশ = 2
• −2.7: ফ্লোর = −3 | পূর্ণসংখ্যা অংশ = −2

এটি প্রমাণ করে যে ফ্লোর একটি দিকনির্দেশক অপারেশন (ঋণাত্মক অসীমের দিকে), কেবল একটি সাধারণ ট্রাঙ্কেশন নয়।

ট্রাঙ্কেশন কেবল একটি সংখ্যার ভগ্নাংশ অংশ কেটে ফেলে (সরিয়ে দেয়), মানটিকে কঠোরভাবে শূন্যের দিকে নিয়ে যায়। ফ্লোর ঋণাত্মক অসীমের দিকে যায়। ঋণাত্মক সংখ্যার ক্ষেত্রে এই পার্থক্য গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠে।

• 2.8: ফ্লোর → 2 | ট্রাঙ্কেট → 2
• −2.8: ফ্লোর → −3 | ট্রাঙ্কেট → −2

"রাউন্ড ডাউন" শব্দটি দ্ব্যর্থক হতে পারে। কঠোর গাণিতিক পরিভাষায়, "রাউন্ড ডাউন" সাধারণত ফ্লোর ফাংশনের সমার্থক (ঋণাত্মক অসীমের দিকে যাওয়া)। যাইহোক, কিছু আর্থিক প্রেক্ষাপটে, "রাউন্ড ডাউন" মানে ট্রাঙ্কেশন (শূন্যের দিকে যাওয়া)।

উদাহরণস্বরূপ, −2.7 এর ক্ষেত্রে, ফ্লোর দেয় −3, কিন্তু ট্রাঙ্কেশন দেয় −2।

ফ্লোর ফাংশনের গ্রাফ, y = ⌊x⌋, একটি ধাপ-আকৃতির গ্রাফ (যা স্টেপ ফাংশন নামেও পরিচিত)। এটি পূর্ণসংখ্যাগুলোর মাঝের সমস্ত মানের জন্য পুরোপুরি সমতল থাকে এবং তারপর প্রতিটি পূর্ণসংখ্যায় উপরে লাফ দেয়।

প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা n এর জন্য যেখানে n ≤ x < n + 1, ফ্লোর মানটি ঠিক n হয়।

• 0 ≤ x < 1 এর জন্য, ⌊x⌋ = 0
• 1 ≤ x < 2 এর জন্য, ⌊x⌋ = 1
• −1 ≤ x < 0 এর জন্য, ⌊x⌋ = −1

গ্রাফে, প্রতিটি অনুভূমিক ধাপের বাম প্রান্তটি একটি বদ্ধ বৃত্ত (যার মানে এটি পূর্ণসংখ্যাটিকে অন্তর্ভুক্ত করে) এবং ডান প্রান্তটি একটি খোলা বৃত্ত (যার মানে এটি পরবর্তী পূর্ণসংখ্যাটিকে অন্তর্ভুক্ত করে না)।

ফ্লোর ফাংশন সেট নোটেশনে আনুষ্ঠানিকভাবে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

সহজ ভাষায়, এই সূত্রটি বলে: "সমস্ত পূর্ণসংখ্যার সেটের (ℤ) দিকে তাকান যা x এর চেয়ে ছোট বা সমান, এবং সেই সেট থেকে সর্বাধিক (max) মানটি বেছে নিন।"

• পূর্ণসংখ্যার জন্য অভেদ (Identity): ⌊x⌋ = x যখন x একটি পূর্ণসংখ্যা।
• সীমা (Bounds): x − 1 < ⌊x⌋ ≤ x অ-পূর্ণসংখ্যা x এর জন্য।
• সিলিং-এর সাথে প্রতিসাম্য: ⌊x⌋ = −⌈−x⌉।
• পূর্ণসংখ্যা যোগ করা: ⌊x + n⌋ = ⌊x⌋ + n যেকোনো পূর্ণসংখ্যা n এর জন্য।

বাস্তব-বিশ্বের পরিস্থিতিতে ফ্লোর ফাংশনের ব্যাপক গুরুত্ব রয়েছে, বিশেষত যখন আংশিক আইটেম গণনা বা ব্যবহার করা যায় না।

• সম্পন্ন ইউনিটসমূহ: যদি আপনার কাছে ২৯টি আইটেম থাকে এবং প্রতিটি সম্পূর্ণ গ্রুপের জন্য ১০টি আইটেমের প্রয়োজন হয়, তাহলে সম্পূর্ণ পূরণ করা গ্রুপের সংখ্যা হবে ⌊29 / 10⌋ = 2।
• কম্পিউটার বিজ্ঞান: অ্যারে সূচকগুলি সন্ধান করা, ভাসমান-বিন্দু স্থানাঙ্কগুলিকে একটি পর্দায় পিক্সেল স্থানাঙ্কে রূপান্তর করা।
• সম্পদ বরাদ্দ: একটি নির্দিষ্ট বাজেটের সাথে আপনি কত পূর্ণ ঘন্টার পরিষেবা নিতে পারবেন তা নির্ধারণ করা।
• ডেটা প্রক্রিয়াকরণ: নির্দিষ্ট সময়ের বিনে ডেটা গ্রুপ করা (যেমন, ঘন্টা অনুসারে লগগুলি গ্রুপ করা)।

পাইথনে (Python) ফ্লোর ফাংশন

জাভাস্ক্রিপ্টে (JavaScript) ফ্লোর ফাংশন

জাভাতে (Java) ফ্লোর ফাংশন

C#-এ ফ্লোর ফাংশন

এক্সেলে (Excel) ফ্লোর ফাংশন

এক্সেলে একাধিক ফ্লোর ফাংশন রয়েছে। FLOOR.MATH(number, significance, mode) সবচেয়ে শক্তিশালী, যা ডিফল্টরূপে সর্বদা ঋণাত্মক অসীমের দিকে রাউন্ড করে। FLOOR(number, significance) ঋণাত্মক সংখ্যাগুলিতে ত্রুটি দেখাতে পারে যদি চিহ্নগুলো মেলে না।

মৌলিক পাটিগণিতের বাইরে, ফ্লোর ফাংশন উন্নত গণিতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়:

• সংখ্যা তত্ত্ব (Number theory): মৌলিক সংখ্যা এবং বিভাজ্যতা সম্পর্কিত সূত্রগুলিতে ব্যবহৃত হয়।
• মডুলার পাটিগণিত: মডুলো অপারেশন প্রায়ই a mod n = a − n × ⌊a / n⌋ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।
• বিচ্ছিন্ন গণিত (Discrete mathematics): অবিচ্ছিন্ন ডোমেন ফাংশনগুলিকে বিচ্ছিন্ন, পূর্ণসংখ্যা-মূল্যবান ফাংশনে রূপান্তরিত করা।

• ফ্লোরকে ট্রাঙ্কেশন এর সাথে গুলিয়ে ফেলা: ট্রাঙ্কেশন দশমিক কেটে দেয় (শূন্যের দিকে যায়)। ফ্লোর ঋণাত্মক অসীমের দিকে যায়। সংশোধন: ঋণাত্মক সংখ্যার জন্য, ফ্লোর মানকে বড় করে তোলে, ট্রাঙ্কেশন এটিকে ছোট করে।
• ভুলে যাওয়া যে ঋণাত্মক সংখ্যা ঋণাত্মক অসীমের দিকে যায়: অনেকেই ভুল করে বিশ্বাস করেন যে ⌊−2.7⌋ হল −2। সংশোধন: এটি হল −3।
• ফ্লোরকে সিলিং এর সাথে গুলিয়ে ফেলা: সংশোধন: ফ্লোর সংখ্যারেখায় বামে যায়; সিলিং ডানে যায়।
• নিকটতম রাউন্ডিং প্রয়োজন হলে ফ্লোর ব্যবহার করা: ফ্লোর নিকটতম পূর্ণসংখ্যাকে উপেক্ষা করে। সংশোধন: আপনার যদি 2.9 এর নিকটতম মানটি প্রয়োজন হয়, তবে 3 পেতে নিকটতম রাউন্ডিং ব্যবহার করুন, ফ্লোর নয়।

ফ্লোর ফাংশন ইনপুটের চেয়ে ছোট বা সমান সবচেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যা প্রদান করে।

এই উদাহরণগুলোর সাহায্যে ফ্লোর ফাংশন সম্পর্কে আপনার বোঝাপড়া পরীক্ষা করুন। উত্তর প্রকাশ করতে একটি প্রশ্নে ক্লিক করুন।