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向下取整函数（⌊x⌋）返回小于或等于给定数字的最大整数。

向下取整函数的数学定义指出，⌊x⌋ 是满足 n ≤ x 的最大整数 n。

这也可以表示为一个不等式：n ≤ x < n + 1，其中 n = ⌊x⌋。

简而言之，这意味着如果一个数字有任何小数部分，您将在数轴上向下移动到它下方的最近整数。如果它已经是一个精确的整数，则它不会改变。

向下取整函数的标准符号使用缺少顶部水平线的特殊括号：⌊x⌋。

• 向下取整括号（Floor brackets）： ⌊x⌋ （缺少顶部部分的方括号，视觉上类似于“地板”）。
• 向上取整括号（Ceiling brackets）： ⌈x⌉ （缺少底部部分的方括号，视觉上类似于“天花板”）。

不要将向下取整括号与普通的圆括号 (x) 或标准的方括号 [x] 混淆，因为它们具有不同的数学含义。

应用向下取整函数遵循数轴上明确的方向规则：

示例

正数：

• ⌊2.1⌋ = 2
• ⌊2.9⌋ = 2
• ⌊7.01⌋ = 7

整数：

• ⌊4⌋ = 4

负数：

• ⌊−2.1⌋ = −3
• ⌊−2.9⌋ = −3

负无穷是数轴上的一个方向，总是向左移动。当向下取整函数应用于任何非整数值时，它会将该值严格推向左侧。

对于正值，向左移动意味着减小量级：

• 2.1 → 2
• 2.9 → 2

对于负值，向左移动意味着远离零（在负方向上增加量级）：

• −2.1 → −3
• −2.9 → −3

不要简单地将向下取整函数视为“向下舍入”而不知道“向下”意味着什么。在数学中，“向下”意味着“向负无穷方向”，而不是“向零方向”。

负数通常会在向下取整函数中引起混淆。一个常见的错误是假设 ⌊−2.1⌋ 等于 −2。然而，⌊−2.1⌋ = −3。

为什么？因为规则是找到小于或等于输入的最大整数。

在数轴上，−3 小于 −2.1，但 −2 大于 −2.1。由于向下取整函数需要小于或等于输入的整数，因此它必须移动到 −3：

其他示例：

• ⌊−2.9⌋ = −3
• ⌊−3⌋ = −3

当输入已经是一个精确的整数时，向下取整函数会保持该值完全不变。

• ⌊1⌋ = 1
• ⌊0⌋ = 0
• ⌊−1⌋ = −1
• ⌊10⌋ = 10

对于小数和分数，向下取整函数有效地消除了正数的小数部分，但对于负数，它会下降到下一个较小的整数。

分数：

• ⌊7/3⌋ = 2
• ⌊11/4⌋ = 2
• ⌊−7/3⌋ = −3
• ⌊−11/4⌋ = −3

正小数：

• ⌊1.1⌋ = 1
• ⌊1.5⌋ = 1
• ⌊1.99⌋ = 1
• ⌊3.001⌋ = 3

负小数：

• ⌊−1.1⌋ = −2
• ⌊−1.99⌋ = −2
• ⌊−3.001⌋ = −4

有时您需要将向下取整函数应用于特定数量的小数位（例如，向下取整到2位小数）。这是使用缩放方法完成的：乘以10的幂，应用向下取整函数，然后除回去。

• 将 2.349 向下取整到 2 位小数： ⌊2.349 × 100⌋ / 100 = ⌊234.9⌋ / 100 = 234 / 100 = 2.34
• 将 2.341 向下取整到 1 位小数： ⌊2.341 × 10⌋ / 10 = ⌊23.41⌋ / 10 = 23 / 10 = 2.3
• 将 7.999 向下取整到 2 位小数： 7.99

对于负数，该值仍然向负无穷方向移动：

• 将 −2.341 向下取整到 2 位小数： ⌊−2.341 × 100⌋ / 100 = ⌊−234.1⌋ / 100 = −235 / 100 = −2.35

向上取整函数 与向下取整函数完全相反。向下取整函数总是向负无穷方向移动，而向上取整函数总是向正无穷方向移动。

最近舍入（四舍五入）选择最接近的整数。向下取整函数不关心哪个整数更接近；它总是选择小于或等于输入的最大整数。

• 2.3： 向下取整 → 2 | 最近舍入 → 2
• 2.7： 向下取整 → 2 | 最近舍入 → 3
• −2.3： 向下取整 → −3 | 最近舍入 → −2
• −2.7： 向下取整 → −3 | 最近舍入 → −3

取整部分函数简单地提取数字的整数数字，剥离小数。这会将该值严格推向零，这对于负数来说产生了一个关键区别。

• 2.7： 向下取整 = 2 | 取整部分 = 2
• −2.7： 向下取整 = −3 | 取整部分 = −2

这加强了向下取整是一个方向性操作（向负无穷方向）而不是简单的截断的区别。

截断只是砍掉（移除）数字的小数部分，使值严格向零移动。向下取整向负无穷方向移动。这种差异在负数中变得很重要。

• 2.8： 向下取整 → 2 | 截断 → 2
• −2.8： 向下取整 → −3 | 截断 → −2

术语“舍去”（round down）可能具有歧义。在严格的数学术语中，“舍去”通常与向下取整函数同义（向负无穷方向移动）。然而，在某些金融背景下，“舍去”意味着截断（向零移动）。

例如，对于 −2.7，向下取整产生 −3，但截断产生 −2。

向下取整函数 y = ⌊x⌋ 的图形呈阶梯状图形（也称为阶梯函数）。它在整数之间的所有值上保持完美平坦，然后在每个整数处跳跃。

对于每个满足 n ≤ x < n + 1 的整数 n，向下取整的值恰好为 n。

• 对于 0 ≤ x < 1, ⌊x⌋ = 0
• 对于 1 ≤ x < 2, ⌊x⌋ = 1
• 对于 −1 ≤ x < 0, ⌊x⌋ = −1

在图表上，每个水平阶梯的左端是实心圆（意味着它包含该整数），而右端是空心圆（意味着它不包含下一个整数）。

向下取整函数在集合表示法中被正式定义为：

用简单的语言来说，这个公式的意思是：“查看所有小于或等于 x 的整数（ℤ）集合，并从该集合中选取最大（max）值。”

• 整数恒等： 当 x 是整数时， ⌊x⌋ = x。
• 界限： 对于非整数 x， x − 1 < ⌊x⌋ ≤ x。
• 与向上取整函数的对称性： ⌊x⌋ = −⌈−x⌉。
• 整数加法： 对于任何整数 n， ⌊x + n⌋ = ⌊x⌋ + n。

向下取整函数在现实场景中具有巨大的重要性，特别是在无法计算或使用部分项目时。

• 完成的单位： 如果你有 29 个项目，每个完整的组需要 10 个项目，则完全填满的组数为 ⌊29 / 10⌋ = 2。
• 计算机科学： 查找数组索引，将屏幕上的浮点坐标转换为像素坐标。
• 资源分配： 确定在给定预算内您可以负担得起多少个完整小时的服务。
• 数据处理： 将数据分组到特定时间箱中（例如，按小时对日志进行分组）。

Python 中的向下取整函数

JavaScript 中的向下取整函数

Java 中的向下取整函数

C# 中的向下取整函数

Excel 中的向下取整函数

Excel 有多个向下取整函数。FLOOR.MATH(number, significance, mode) 是最强大的，默认情况下始终向负无穷方向取整。如果在符号不匹配的情况下，FLOOR(number, significance) 可能会在负数上报错。

除了基本算术之外，向下取整函数在高等数学中被广泛使用：

• 数论： 用于涉及素数和整除性的公式。
• 模运算： 模运算通常被定义为 a mod n = a − n × ⌊a / n⌋。
• 离散数学： 将连续域函数转化为离散、值为整数的函数。

• 将向下取整与截断混淆： 截断切除小数（向零移动）。向下取整向负无穷方向移动。纠正： 对于负数，向下取整使其量级更大，截断使其量级更小。
• 忘记负数向负无穷方向移动： 许多人错误地认为 ⌊−2.7⌋ 是 −2。纠正： 它是 −3。
• 将向下取整与向上取整混淆： 纠正： 向下取整在数轴上向左移动；向上取整向右移动。
• 在需要最近舍入时使用向下取整： 向下取整忽略了最近的整数。纠正： 如果您需要最接近 2.9 的值，请使用最近舍入得到 3，而不是向下取整。

向下取整函数返回小于或等于输入的最大整数。

通过这些例子测试您对向下取整函数的理解。点击问题以显示答案。