फ़्लोर फ़ंक्शन

फ़्लोर फ़ंक्शन (⌊x⌋) दी गई संख्या से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक (greatest integer) देता है।

फ़्लोर फ़ंक्शन की गणितीय परिभाषा कहती है कि ⌊x⌋ सबसे बड़ा पूर्णांक n है, जहाँ n ≤ x है।

इसे एक असमानता (inequality) के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है: n ≤ x < n + 1, जहाँ n = ⌊x⌋ है।

सरल शब्दों में, इसका मतलब है कि यदि किसी संख्या का कोई भिन्नात्मक भाग (fractional part) है, तो आप संख्या रेखा (number line) पर उसके ठीक नीचे वाले निकटतम पूर्णांक पर चले जाते हैं। यदि वह पहले से ही एक पूर्ण पूर्णांक है, तो यह नहीं बदलता है।

फ़्लोर फ़ंक्शन के लिए मानक नोटेशन में विशेष कोष्ठक (brackets) का उपयोग होता है जिनमें ऊपर की क्षैतिज रेखाएँ (horizontal bars) नहीं होती हैं: ⌊x⌋।

• फ़्लोर कोष्ठक: ⌊x⌋ (स्क्वायर कोष्ठक जिनका ऊपरी भाग गायब होता है, जो दिखने में एक "फ़्लोर" या फर्श जैसा लगता है)।
• सीलिंग कोष्ठक: ⌈x⌉ (स्क्वायर कोष्ठक जिनका निचला भाग गायब होता है, जो दिखने में एक "सीलिंग" या छत जैसा लगता है)।

फ़्लोर कोष्ठक को साधारण कोष्ठक (x) या मानक स्क्वायर कोष्ठक [x] समझने की भूल न करें, क्योंकि उनके गणितीय अर्थ अलग होते हैं।

फ़्लोर फ़ंक्शन को लागू करना संख्या रेखा (number line) पर एक स्पष्ट दिशात्मक नियम का पालन करता है:

उदाहरण

धनात्मक संख्याएँ (Positive Numbers):

• ⌊2.1⌋ = 2
• ⌊2.9⌋ = 2
• ⌊7.01⌋ = 7

पूर्णांक (Integers):

• ⌊4⌋ = 4

ऋणात्मक संख्याएँ (Negative Numbers):

• ⌊−2.1⌋ = −3
• ⌊−2.9⌋ = −3

ऋणात्मक अनंत (Negative infinity) संख्या रेखा पर एक दिशा है, जो हमेशा बाईं ओर बढ़ती है। जब फ़्लोर फ़ंक्शन किसी गैर-पूर्णांक मान पर लागू होता है, तो यह मान को कड़ाई से उसी बाईं दिशा में धकेलता है।

धनात्मक मानों के लिए, बाईं ओर जाने का अर्थ है परिमाण (magnitude) को कम करना:

• 2.1 → 2
• 2.9 → 2

ऋणात्मक मानों के लिए, बाईं ओर जाने का अर्थ है शून्य से और दूर जाना (ऋणात्मक दिशा में परिमाण को बढ़ाना):

• −2.1 → −3
• −2.9 → −3

फ़्लोर फ़ंक्शन को केवल "नीचे की ओर राउंड करना (rounding down)" समझने की गलती न करें, जब तक कि आप यह न जानते हों कि "नीचे (down)" का क्या अर्थ है। गणित में, "नीचे" का अर्थ है "ऋणात्मक अनंत की ओर", न कि "शून्य की ओर।"

ऋणात्मक संख्याएँ आमतौर पर फ़्लोर फ़ंक्शन के साथ भ्रम पैदा करती हैं। एक सामान्य गलती यह मान लेना है कि ⌊−2.1⌋ −2 के बराबर है। हालाँकि, ⌊−2.1⌋ = −3 होता है।

क्यों? क्योंकि नियम वह सबसे बड़ा पूर्णांक खोजना है जो इनपुट से कम या उसके बराबर हो।

संख्या रेखा पर, −3 −2.1 से कम है, लेकिन −2 −2.1 से बड़ा है। चूँकि फ़्लोर फ़ंक्शन को इनपुट से कम या उसके बराबर पूर्णांक की आवश्यकता होती है, इसलिए इसे −3 पर जाना चाहिए:

अन्य उदाहरण:

• ⌊−2.9⌋ = −3
• ⌊−3⌋ = −3

जब इनपुट पहले से ही एक सटीक पूर्णांक होता है, तो फ़्लोर फ़ंक्शन मान को पूरी तरह से अपरिवर्तित छोड़ देता है।

• ⌊1⌋ = 1
• ⌊0⌋ = 0
• ⌊−1⌋ = −1
• ⌊10⌋ = 10

दशमलव संख्याओं और भिन्नों (fractions) के लिए, फ़्लोर फ़ंक्शन धनात्मक संख्याओं के लिए भिन्नात्मक भाग को प्रभावी रूप से हटा देता है, लेकिन ऋणात्मक संख्याओं के लिए, यह अगले निचले पूर्णांक पर गिर जाता है।

भिन्न (Fractions):

• ⌊7/3⌋ = 2
• ⌊11/4⌋ = 2
• ⌊−7/3⌋ = −3
• ⌊−11/4⌋ = −3

धनात्मक दशमलव:

• ⌊1.1⌋ = 1
• ⌊1.5⌋ = 1
• ⌊1.99⌋ = 1
• ⌊3.001⌋ = 3

ऋणात्मक दशमलव:

• ⌊−1.1⌋ = −2
• ⌊−1.99⌋ = −2
• ⌊−3.001⌋ = −4

कभी-कभी आपको विशिष्ट संख्या में दशमलव स्थानों (जैसे, 2 दशमलव स्थानों तक फ़्लोर) पर फ़्लोर फ़ंक्शन लागू करने की आवश्यकता होती है। यह एक स्केलिंग विधि का उपयोग करके किया जाता है: 10 की घात से गुणा करें, फ़्लोर फ़ंक्शन लागू करें, और वापस भाग दें।

• 2.349 को 2 दशमलव स्थानों तक फ़्लोर करें: ⌊2.349 × 100⌋ / 100 = ⌊234.9⌋ / 100 = 234 / 100 = 2.34
• 2.341 को 1 दशमलव स्थान तक फ़्लोर करें: ⌊2.341 × 10⌋ / 10 = ⌊23.41⌋ / 10 = 23 / 10 = 2.3
• 7.999 को 2 दशमलव स्थानों तक फ़्लोर करें: 7.99

ऋणात्मक संख्याओं के लिए, मान अभी भी ऋणात्मक अनंत की ओर बढ़ता है:

• −2.341 को 2 दशमलव स्थानों तक फ़्लोर करें: ⌊−2.341 × 100⌋ / 100 = ⌊−234.1⌋ / 100 = −235 / 100 = −2.35

सीलिंग फ़ंक्शन फ़्लोर फ़ंक्शन के बिल्कुल विपरीत है। फ़्लोर फ़ंक्शन हमेशा ऋणात्मक अनंत की ओर बढ़ता है, जबकि सीलिंग फ़ंक्शन हमेशा धनात्मक अनंत की ओर बढ़ता है。

निकटतम राउंडिंग (Round Half Up) निकटतम पूर्णांक का चयन करता है। फ़्लोर फ़ंक्शन को इससे कोई मतलब नहीं है कि कौन सा पूर्णांक अधिक करीब है; यह हमेशा इनपुट से कम या उसके बराबर सबसे बड़े पूर्णांक का चयन करता है।

• 2.3: फ़्लोर → 2 | निकटतम राउंडिंग → 2
• 2.7: फ़्लोर → 2 | निकटतम राउंडिंग → 3
• −2.3: फ़्लोर → −3 | निकटतम राउंडिंग → −2
• −2.7: फ़्लोर → −3 | निकटतम राउंडिंग → −3

पूर्णांक भाग फ़ंक्शन दशमलव को हटाकर किसी संख्या के केवल पूर्णांक अंकों को निकालता है। यह मान को शून्य की ओर कड़ाई से ले जाता है, जो ऋणात्मक संख्याओं के लिए एक महत्वपूर्ण अंतर पैदा करता है।

• 2.7: फ़्लोर = 2 | पूर्णांक भाग = 2
• −2.7: फ़्लोर = −3 | पूर्णांक भाग = −2

यह इस अंतर को पुष्ट करता है कि फ़्लोर एक दिशात्मक ऑपरेशन है (ऋणात्मक अनंत की ओर), न कि एक साधारण ट्रंकेशन।

ट्रंकेशन (Truncation) बस किसी संख्या के भिन्नात्मक भाग को काट देता है (हटा देता है), मान को कड़ाई से शून्य की ओर ले जाता है। फ़्लोर ऋणात्मक अनंत की ओर बढ़ता है। यह अंतर ऋणात्मक संख्याओं के साथ महत्वपूर्ण हो जाता है।

• 2.8: फ़्लोर → 2 | ट्रंकेट (Truncate) → 2
• −2.8: फ़्लोर → −3 | ट्रंकेट (Truncate) → −2

शब्द "राउंड डाउन" भ्रामक हो सकता है। सख्त गणितीय शब्दावली में, "राउंड डाउन" आमतौर पर फ़्लोर फ़ंक्शन का पर्याय है (ऋणात्मक अनंत की ओर बढ़ना)। हालाँकि, कुछ वित्तीय संदर्भों में, "राउंड डाउन" का अर्थ ट्रंकेशन (शून्य की ओर बढ़ना) होता है।

उदाहरण के लिए, −2.7 के साथ, फ़्लोर −3 देता है, लेकिन ट्रंकेशन −2 देता है।

फ़्लोर फ़ंक्शन का ग्राफ़, y = ⌊x⌋, एक सीढ़ीनुमा (step-shaped) ग्राफ़ है (जिसे स्टेप फ़ंक्शन के रूप में भी जाना जाता है)। यह पूर्णांकों के बीच सभी मानों के लिए पूरी तरह से सपाट रहता है, और फिर प्रत्येक पूर्णांक पर ऊपर की ओर उछलता है।

प्रत्येक पूर्णांक n के लिए जहाँ n ≤ x < n + 1 है, फ़्लोर मान ठीक n होता है।

• 0 ≤ x < 1 के लिए, ⌊x⌋ = 0
• 1 ≤ x < 2 के लिए, ⌊x⌋ = 1
• −1 ≤ x < 0 के लिए, ⌊x⌋ = −1

ग्राफ़ पर, प्रत्येक क्षैतिज चरण का बायां सिरा एक बंद चक्र (closed circle) है (जिसका अर्थ है कि इसमें वह पूर्णांक शामिल है), और दायां सिरा एक खुला चक्र (open circle) है (जिसका अर्थ है कि इसमें अगला पूर्णांक शामिल नहीं है)।

फ़्लोर फ़ंक्शन को औपचारिक रूप से सेट नोटेशन में इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

सरल भाषा में, यह सूत्र कहता है: "उन सभी पूर्णांकों (ℤ) के सेट को देखें जो x से कम या उसके बराबर हैं, और उस सेट से अधिकतम (max) मान चुनें।"

• पूर्णांकों के लिए पहचान (Identity): ⌊x⌋ = x जब x एक पूर्णांक हो।
• सीमाएँ (Bounds): x − 1 < ⌊x⌋ ≤ x गैर-पूर्णांक x के लिए।
• सीलिंग के साथ समरूपता (Symmetry): ⌊x⌋ = −⌈−x⌉।
• पूर्णांक का जोड़ (Addition of an integer): ⌊x + n⌋ = ⌊x⌋ + n किसी भी पूर्णांक n के लिए।

फ़्लोर फ़ंक्शन का वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों में बहुत महत्व है, विशेष रूप से तब जब आंशिक (partial) वस्तुओं की गणना या उपयोग नहीं किया जा सकता है।

• पूर्ण इकाइयाँ (Completed units): यदि आपके पास 29 वस्तुएं हैं और प्रत्येक पूर्ण समूह के लिए 10 वस्तुओं की आवश्यकता है, तो पूरी तरह से भरे हुए समूहों की संख्या ⌊29 / 10⌋ = 2 है।
• कंप्यूटर विज्ञान: एरे इंडेक्स ढूँढना, फ्लोटिंग-पॉइंट निर्देशांक (coordinates) को स्क्रीन पर पिक्सेल निर्देशांक में बदलना।
• संसाधन आवंटन (Resource allocation): यह निर्धारित करना कि आप दिए गए बजट के साथ सेवा के कितने पूरे घंटे वहन कर सकते हैं।
• डेटा प्रोसेसिंग: विशिष्ट समय बिन में डेटा समूहीकृत करना (जैसे, लॉग को घंटे के हिसाब से समूहीकृत करना)।

पायथन (Python) में फ़्लोर फ़ंक्शन

जावास्क्रिप्ट (JavaScript) में फ़्लोर फ़ंक्शन

जावा (Java) में फ़्लोर फ़ंक्शन

C# में फ़्लोर फ़ंक्शन

एक्सेल (Excel) में फ़्लोर फ़ंक्शन

एक्सेल में कई फ़्लोर फ़ंक्शन हैं। FLOOR.MATH(number, significance, mode) सबसे मजबूत है, जो डिफ़ॉल्ट रूप से हमेशा ऋणात्मक अनंत की ओर राउंड करता है। FLOOR(number, significance) ऋणात्मक संख्याओं पर त्रुटि दे सकता है यदि चिह्न मेल नहीं खाते हैं।

बुनियादी अंकगणित (basic arithmetic) से परे, उन्नत गणित में फ़्लोर फ़ंक्शन का भारी उपयोग किया जाता है:

• संख्या सिद्धांत (Number theory): अभाज्य (primes) और विभाज्यता (divisibility) से जुड़े सूत्रों में उपयोग किया जाता है।
• मॉड्यूलर अंकगणित: मॉड्यूलो ऑपरेशन को अक्सर a mod n = a − n × ⌊a / n⌋ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• असतत गणित (Discrete mathematics): निरंतर डोमेन फ़ंक्शंस को असतत, पूर्णांक-मूल्यवान फ़ंक्शंस में बदलना।

• फ़्लोर को ट्रंकेशन (truncation) के साथ भ्रमित करना: ट्रंकेशन दशमलव को काट देता है (शून्य की ओर बढ़ता है)। फ़्लोर ऋणात्मक अनंत की ओर बढ़ता है। सुधार: ऋणात्मक संख्याओं के लिए, फ़्लोर परिमाण (magnitude) को बड़ा बनाता है, ट्रंकेशन इसे छोटा बनाता है।
• यह भूल जाना कि ऋणात्मक संख्याएँ ऋणात्मक अनंत की ओर बढ़ती हैं: कई लोग गलती से मानते हैं कि ⌊−2.7⌋ −2 है। सुधार: यह −3 है।
• फ़्लोर को सीलिंग के साथ भ्रमित करना: सुधार: फ़्लोर संख्या रेखा पर बाईं ओर जाता है; सीलिंग दाईं ओर जाती है।
• फ़्लोर का उपयोग करना जब निकटतम राउंडिंग की आवश्यकता हो: फ़्लोर निकटतम पूर्णांक को अनदेखा करता है। सुधार: यदि आपको 2.9 के सबसे करीब का मान चाहिए, तो फ़्लोर नहीं, बल्कि निकटतम राउंडिंग का उपयोग करके 3 प्राप्त करें।

फ़्लोर फ़ंक्शन इनपुट से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है।

इन उदाहरणों के साथ फ़्लोर फ़ंक्शन की अपनी समझ का परीक्षण करें। उत्तर जानने के लिए किसी प्रश्न पर क्लिक करें।